TECNICAS DE INTEGRAÇÃO

por **Marcio Cristo** » Qui Dez 22, 2011 18:35

Boa tarde , como ficaria a seguinte integral? A minha duvida é por onde começar e como ficaria a fatoração do polinomio que está no denominador . Se puder fazer um passo a passo . Agradeço desde ja .

$f(x)=\int(x+4)/(x^2+2x+5)$

por **LuizAquino** » Qui Dez 22, 2011 22:01

Marcio Cristo escreveu:Boa tarde , como ficaria a seguinte integral? A minha duvida é por onde começar e como ficaria a fatoração do polinomio que está no denominador . Se puder fazer um passo a passo . Agradeço desde ja.

$f(x)=\int(x+4)/(x^2+2x+5)$

Para estudar a resolução dessa integral, siga o procedimento abaixo.

Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
No campo de entrada, digite:
Código: Selecionar todos
integrate (x+4)/(x^2+2x+5) dx
Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
Pronto! Agora basta estudar a resolução e comparar com a sua.

Observação

Se você desejar revisar as técnicas de integração, então eu gostaria de recomendar que você assista as vídeo-aulas disponíveis em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **Marcio Cristo** » Qui Dez 22, 2011 22:23

Boa noite, obrigado pelo feeedback , Luiz , noto que x+4/x^2+2x+5 foi reescrito na forma de 2x+2 / 2( x^2+2x+5) + 3/x^2+2x+5 , qual a tecnica usada para essa transformação de polinomios ??? como ele chegou a tal ???

por **LuizAquino** » Qui Dez 22, 2011 22:49

Marcio Cristo escreveu:noto que x+4/x^2+2x+5 foi reescrito na forma de 2x+2 / 2( x^2+2x+5) + 3/x^2+2x+5 , qual a tecnica usada para essa transformação de polinomios ???

Note que:

$\frac{x+4}{x^2+2x+5} = \frac{x + 1 + 3}{x^2+2x+5}$ $= \frac{x + 1}{x^2+2x+5} + \frac{3}{x^2+2x+5} = \frac{2x + 2}{2\left(x^2+2x+5\right)} + \frac{3}{x^2+2x+5}$

por **Marcio Cristo** » Sex Dez 23, 2011 17:36

entendi , agora , qual a finalidade de ter multiplicado a primeira expressão toda por 2 ?? não poderia integrar com aquele polinomio x+1 ??

por **LuizAquino** » Sex Dez 23, 2011 18:00

Marcio Cristo escreveu:qual a finalidade de ter multiplicado a primeira expressão toda por 2 ?? não poderia integrar com aquele polinomio x+1 ??

A finalidade foi de "facilitar" o uso da integração por substituição.

Note que fazendo u=x^2 + 2x + 5

e $du=2x + 2\, dx$ , temos que :

$\int \frac{2x+2}{2\left(x^2 + 2x + 5\right)}\, dx = \int \frac{1}{2u}\, du$

Obviamente, também poderíamos utilizar essa mesma substituição sem usar esse artifício de multiplicar a priori por 2.

Note que podemos reescrever $du=2x + 2\, dx$ como sendo $\frac{1}{2}du=x + 1\, dx$ . Nesse caso, podemos escrever diretamente que:

$\int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 5}\, dx = \int \frac{1}{2u}\, du$