[Limite] Funções trigonométricas

por **Aliocha Karamazov** » Qui Out 27, 2011 18:13

Gostaria que alguém me ajudasse nesse limite abaixo, sem usar L'Hospital.

$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-sen(x)}{2x-\pi}$

Normalmente, eu posto minhas tentativas. Mas o problema aqui foi justamente como começar.

por **angieluis** » Qui Out 27, 2011 18:58

Começar por fazer a mudança de variavel de $y=x-\frac{\pi}{2}$ .
Ficamos assim com:
$lim{\frac{1-sen(y+\frac{\pi}{2})}{2(y+\frac{\pi}{2})\-\pi}, quando y\rightarrow0$
Fazemos então o calculo do numerador, o limite é sempre quando y tende para zero: $\lim{\frac{1-cosy}{2y}}$
multiplicando em cima e em baixo por 1+cosx

fica:
$\lim{\frac{1-cos{x}^{2}}{2y(1+cosx)}}$ =
$\lim{\frac{sen{x}^{2}}{2y}}\lim{\frac{1}{cosy}}$ =
$\lim{\frac{seny}{y}\frac{seny}{2}\frac{1}{1+cosy}}$ =
1x0x1

=0
Desculpa a forma como isto está escrito mas é a primeira vez que "ando" aqui!!!

por **Aliocha Karamazov** » Qui Out 27, 2011 19:43

Obrigado pela ajuda. Quanto à escrita em $\LaTeX$ , dê uma lida no tópico destinado a ele. Eu aprendi tudo por lá!

por **LuizAquino** » Qui Out 27, 2011 20:19

Vejamos outra maneira.

Faça a substituição $u = 2x - \pi$ .

$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\,\textrm{sen}\,x}{2x-\pi} = \lim_{u\to 0} \frac{1-\,\textrm{sen}\,\left(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}{u}$

Use a identidade trigonométrica $\,\textrm{sen}\,(a+b) = \,\textrm{sen}\,a\cos b + \,\textrm{sen}\,b\cos a$ .

$\lim_{u\to 0} \frac{1-\,\textrm{sen}\,\left(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}{u} = \lim_{u\to 0} \frac{1-\cos \frac{u}{2}}{u}$

Multiplique o numerador e o denominador por $1+\cos \frac{u}{2}$ .

$\lim_{u\to 0} \frac{\left(1-\cos \frac{u}{2}\right)\cdot \left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}{u\cdot \left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{1-\cos^2 \frac{u}{2}}{u\left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,^2\frac{u}{2}}{u\left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}$

$= \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,^2\frac{u}{2}}{u\left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}$

$= \left(\lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{u}\right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \textrm{sen}\,\frac{u}{2} \right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \frac{1}{1+\cos \frac{u}{2}}\right) = 0$

Note que no segundo fator aparece um limite cujo o resultado é zero. Portanto no final esse produto é zero.

Mas se ainda assim você quiser continuar a resolução, então é necessário arrumar o primeiro fator para aparecer o limite trigonométrico fundamental. Note que:

$\lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{u} = \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{\frac{2u}{2}} = \frac{1}{2} \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{\frac{u}{2}}$

Fazendo a substituição $z = \frac{u}{2}$ , temos que:

$\frac{1}{2} \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{\frac{u}{2}} = \frac{1}{2} \lim_{z\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,z}{z} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}$

Voltando para aquele produto, temos que:

$\left(\lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{u}\right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \textrm{sen}\,\frac{u}{2} \right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \frac{1}{1+\cos \frac{u}{2}}\right) = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$