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[Limite] Funções trigonométricas

[Limite] Funções trigonométricas

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Out 27, 2011 18:13

Gostaria que alguém me ajudasse nesse limite abaixo, sem usar L'Hospital.

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-sen(x)}{2x-\pi}

Normalmente, eu posto minhas tentativas. Mas o problema aqui foi justamente como começar.
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Re: [Limite] Funções trigonométricas

Mensagempor angieluis » Qui Out 27, 2011 18:58

Começar por fazer a mudança de variavel de y=x-\frac{\pi}{2}.
Ficamos assim com:
lim{\frac{1-sen(y+\frac{\pi}{2})}{2(y+\frac{\pi}{2})\-\pi}, quando   y\rightarrow0
Fazemos então o calculo do numerador, o limite é sempre quando y tende para zero:\lim{\frac{1-cosy}{2y}}
multiplicando em cima e em baixo por 1+cosx fica:
\lim{\frac{1-cos{x}^{2}}{2y(1+cosx)}}=
\lim{\frac{sen{x}^{2}}{2y}}\lim{\frac{1}{cosy}}=
\lim{\frac{seny}{y}\frac{seny}{2}\frac{1}{1+cosy}}=
1x0x1=0
Desculpa a forma como isto está escrito mas é a primeira vez que "ando" aqui!!!
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Re: [Limite] Funções trigonométricas

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Out 27, 2011 19:43

Obrigado pela ajuda. Quanto à escrita em \LaTeX, dê uma lida no tópico destinado a ele. Eu aprendi tudo por lá!
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Re: [Limite] Funções trigonométricas

Mensagempor LuizAquino » Qui Out 27, 2011 20:19

Vejamos outra maneira.

Faça a substituição u = 2x - \pi .

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\,\textrm{sen}\,x}{2x-\pi} = \lim_{u\to 0} \frac{1-\,\textrm{sen}\,\left(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}{u}

Use a identidade trigonométrica \,\textrm{sen}\,(a+b) = \,\textrm{sen}\,a\cos b + \,\textrm{sen}\,b\cos a.

\lim_{u\to 0} \frac{1-\,\textrm{sen}\,\left(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{2}\right)}{u} = \lim_{u\to 0} \frac{1-\cos \frac{u}{2}}{u}

Multiplique o numerador e o denominador por 1+\cos \frac{u}{2} .

\lim_{u\to 0} \frac{\left(1-\cos \frac{u}{2}\right)\cdot \left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}{u\cdot \left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}

= \lim_{u\to 0} \frac{1-\cos^2 \frac{u}{2}}{u\left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}

= \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,^2\frac{u}{2}}{u\left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}

= \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,^2\frac{u}{2}}{u\left(1+\cos \frac{u}{2}\right)}

= \left(\lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{u}\right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \textrm{sen}\,\frac{u}{2} \right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \frac{1}{1+\cos \frac{u}{2}}\right) = 0

Note que no segundo fator aparece um limite cujo o resultado é zero. Portanto no final esse produto é zero.

Mas se ainda assim você quiser continuar a resolução, então é necessário arrumar o primeiro fator para aparecer o limite trigonométrico fundamental. Note que:

\lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{u} = \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{\frac{2u}{2}} = \frac{1}{2} \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{\frac{u}{2}}

Fazendo a substituição z = \frac{u}{2}, temos que:

\frac{1}{2} \lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{\frac{u}{2}} = \frac{1}{2} \lim_{z\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,z}{z} = \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}

Voltando para aquele produto, temos que:

\left(\lim_{u\to 0} \frac{\,\textrm{sen}\,\frac{u}{2}}{u}\right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \textrm{sen}\,\frac{u}{2} \right) \cdot \left(\lim_{u\to 0} \frac{1}{1+\cos \frac{u}{2}}\right) = \frac{1}{2} \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0
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Re: [Limite] Funções trigonométricas

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sex Out 28, 2011 03:27

Obrigado, Luiz.
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.