Converge ou diverge a sequencia

por **Buda** » Seg Out 24, 2011 21:28

Ola. Preciso de ajuda quanto a esta sequencia.Se ela converge ou diverge.

an = cos(n/2) , e tambem aproveitando an = arctan(2n)

por **LuizAquino** » Qua Out 26, 2011 00:35

Buda escreveu:an = cos(n/2)

Sabemos que toda sequência periódica convergente é constante.

Como essa sequência é periódica, se ela convergisse deveria ser constante. Mas, ela claramente não é constante. Portanto, ela é divergente.

Buda escreveu:an = arctan(2n)

Essa sequência é monótona (crescente) e limitada. Portanto ela é convergente.

Além disso, dos conhecimentos sobre a função arco-tangente, podemos dizer que o valor para o qual essa sequência converge é $\frac{\pi}{2}$ .

por **Buda** » Sáb Out 29, 2011 19:50

humm.. tendi brigado.

Agora , para as outras sequencias.Tambem qnt se diverge ou converge.
1) ln(n)/(ln (2n))

2) ln(n +1) - ln (n)

3) sen(2n)/ ( 1 + n^0.5)

Desculpe tantas perguntas.Mais eu nao entendi muito bem como faço.Se uso limite tendendo a infito.Ou se uso propriedade de logaritmo.
Desde ja obrigado.

por **LuizAquino** » Sáb Out 29, 2011 20:31

Buda escreveu:1) ln(n)/(ln (2n))

Converge.

$\lim_{n\to +\infty} \frac{\ln n}{\ln 2n} = \lim_{n\to +\infty} \frac{\ln n}{\ln 2 + \ln n}$

$= \lim_{n\to +\infty} \frac{(\ln n) : \ln n}{(\ln 2 + \ln n) : \ln n}$

$= \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{\frac{\ln 2}{\ln n} + 1}$

$= \frac{1}{0 + 1} = 1$

Buda escreveu:2) ln(n +1) - ln (n)

Converge.

$\lim_{n\to +\infty} \ln(n+1) - \ln n = \lim_{n\to +\infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)$

$= \lim_{n\to +\infty} \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)}$

$= \ln (1 + 0) = 0$

Buda escreveu:3) sen(2n)/ ( 1 + n^0.5)

Converge.

Sabemos que:

$-1 \leq \textrm{sen}\, 2n \leq 1$ .

Multiplicando toda essa inequação pelo número positivo $\frac{1}{1+\sqrt{n}}$ , temos que:

$-\frac{1}{1+\sqrt{n}} \leq \frac{\textrm{sen}\, 2n}{1+\sqrt{n}} \leq \frac{1}{1+\sqrt{n}}$

Sabemos que:

$\lim_{n\to +\infty} -\frac{1}{1+\sqrt{n}} = \lim_{n\to +\infty} \frac{1}{1+\sqrt{n}} = 0$

Pelo Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), segue que:

$\lim_{n\to +\infty} \frac{\textrm{sen}\, 2n}{1+\sqrt{n}} = 0$

por **Buda** » Sáb Out 29, 2011 21:55

Nossa caramba. muito obrigado .Sem puxa saco, mais voce manja muito.
Tava vendo aki alguns exerciccios e teoria tava em duvida entre sequencia e serie, mais agora entendi a diferença.Agora teve um exercicio q fiquei em duvida.Vo tenta se meio resumido.Me corrija se estiver errado por favor.
tem a serie.
? n=1 ate infito positivo de 1/(2n) - que é uma serie harmonica que diverge.

E eu estava confundindo a harmonica com a geometrica.
Poderia me responder qual é mais ou menos o corpo de uma serie harmonica.Para saber que ja ira divegir de uma vez.Pois apliquei a formula de geometrica naquela serie harmonica e da 2. ? ar^(n-1) = a/(1-r) IrI <1 .Logicamente deu errado pois nao é geometrica e sim harmonica. E aplicando a formula do Teste da divergencia dava 2 que é diferente de 0 portanto diverge.
Enfim. Quando eu sei q a sequencia é harmonica ou geometrica????

por **LuizAquino** » Sáb Out 29, 2011 22:38

Buda escreveu:E eu estava confundindo a harmonica com a geometrica. (...)
Poderia me responder qual é mais ou menos o corpo de uma serie harmonica. (...)
Quando eu sei q a sequencia é harmonica ou geometrica?

Eu recomendo que você leia as páginas abaixo.

Série harmônica
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie ... %A1tica%29

Série geométrica
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_geom%C3%A9trica

por **Buda** » Sáb Out 29, 2011 23:52

nao consegui ainda entende o meu problema.
a serie ? n=1 ate infinito positivo da funçao 1/(2n) .Que é uma serie harmonica(sempre diverge)
Mais fazendo o lim da funçao(teste da divergencia) da 1 sobre infinito = 0 ou seja converge????
Nao entendi???

por **Buda** » Dom Out 30, 2011 00:27

Segue as seguintes series. Determine se converge ou diverge. Qual é o massete ?

? de n=1 ate infinito positivo da funçao 3^(n) + 2^(n)/(6)^n

? de n=1 ate infinito positivo da funçao ln((n^2 + 1)/(2n^2 +1))

? de n=1 ate infinito positivo da funçao e^n/n^2

obrigado

por **MarceloFantini** » Dom Out 30, 2011 03:34

Séries harmônicas são da forma $\sum \frac{1}{n^p}$ , com p>0

. Para $0<p \leq 1$ , ela diverge. Para p>1

, ela converge.

A série geométrica é a série da forma $\sum x^n$ com |x| < 1

.

Para testar se um série converge, faça o limite da sequência da série com $n \to \infty$ . Se o limite for zero, ela pode convergir, mas se o limite for diferente de zero então com certeza ela diverge.

por **LuizAquino** » Dom Out 30, 2011 13:00

Eu recomendo que você leia a página:

Série (matemática)
http://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie ... %A1tica%29

Nesse texto há uma seção tratando sobre os testes de convergência ou divergência de séries.

por **Buda** » Dom Out 30, 2011 19:05

Poderia me ajudar com essa estimativa de serie.obrigado

Encontre a soma parcial s10 da serie ? n=1 ate infinito positivo 1/((n)^4) . Estime o erro cometido ao usar s10 como uma aproximaçao para a soma da serie.
Encontre uma valor de n tal que sn represente a soma com precisao de 0,00001.

por **LuizAquino** » Qua Nov 02, 2011 11:15

Buda escreveu:Encontre a soma parcial s10 da serie ? n=1 ate infinito positivo 1/((n)^4) . Estime o erro cometido ao usar s10 como uma aproximaçao para a soma da serie.
Encontre uma valor de n tal que sn represente a soma com precisao de 0,00001.

Esse exercício é uma aplicação direta da "Estimativa do erro para o Teste da Integral". Você já estudou esse conteúdo?

Se você já estudou, então qual foi a sua dificuldade nesse exercício?

Por outro lado, se você ainda não estudou, então eu recomendo que estude esse conteúdo antes de tentar esse exercício.