Limites no infinito

por **jr_freitas** » Sex Out 07, 2011 16:55

Boa tarde!
Tenho dúvida no seguinte exercício: pede pra indicar nos problemas abaixo $\lim_{x \rightarrow+\infty}$ f(x) e $\lim_{x \rightarrow-\infty}$ f(x) para cada função dada. Se o valor for infinito indique se é $+ \infty \ ou \ - \infty$ .

a) f(x) = x^3 - 4x^2 - 4

Usando a regra da potência maior, fiz assim: $a) f(x) = \frac{x^3}{x^3} - \frac{4x^2}{x^3} - \frac{4}{x^3}$ aí fazendo as contas deu f(x) = 1 -0 -0 que f(x)=1, não sei se essa parte está certo ou se precisava fazer isso... como eu sei que o resultado vai pra + $\infty$ ou - $\infty$ ou os dois?

Obrigado!
Abraço

por **Claudin** » Sáb Out 08, 2011 12:59

http://www.wolframalpha.com/input/?i=lim_{x-%3E%2B%5Cinfty}+x^3-4x^2-4

Não consegui compreender este exercício, eu utilizava a mesma técnica, mas parece que esta dando errado.

Quando posso utilizar a técnica de dividir por maior expoente e quando não posso?

por **Renato_RJ** » Sáb Out 08, 2011 13:10

Amigos, tudo em paz ??

Essa "técnica", na verdade, consiste em colocar o termo de maior grau em evidência e não dividir o polinômio por ele, usamos essa técnica quando temos uma fração onde tanto o denominador quanto o numerador são polinômios, então colocamos o termo de maior grau em evidência para cancelarmos ele.

Quando temos um limite da forma está apresentado, uma função polinomial, aplicamos o valor direto no polinômio e estudamos o seu comportamento, veja:

$\lim_{x \rightarrow + \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = + \infty$

Pois o termo x^3

"cresce" mais rápido do que os outros, logo o polinômio todo tende para o infinito positivo, mas quando x tende ao $- \infty$ , o polinômio tende ao $- \infty$ pois x^3

mantém o sinal negativo...

Espero ter ajudado,
Renato.

por **Molina** » Sáb Out 08, 2011 13:13

Boa tarde.

Pelo o que entendi vocês estão confundindo alguns conceitos. Esta técnica de dividir pelo maior expoente aplica-se quando eu tenho um quociente de duas funções, por exemplo:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+3}{x^2-1}$

Neste caso sim divide pelo monômio dominante o numerador e o denominador.

:y:

por **Claudin** » Sáb Out 08, 2011 18:37

Correto, quando for operação quociente, posso utilizar a técnica de colocar em evidência?

E quando não for, procuro sempre multiplicar e dividir pelo conjugado?

Correto?

Então como resolver o exercício proposto no 1º post acima.

por **LuizAquino** » Sáb Out 08, 2011 19:14

Renato_RJ escreveu:(...)
Essa "técnica", na verdade, consiste em colocar o termo de maior grau em evidência e não dividir o polinômio por ele
(...)

Tanto faz enxergar a técnica como "colocar em evidência" ou como "dividir os polinômios."

Vamos tomar o exemplo:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x^3 + 2}$

1) Método da "divisão"

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x^3 + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 - 1):x^3}{(x^3 + 2):x^3}$

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{2}{x^3}}$

$= \frac{0 - 0}{1 + 0} = 0$

2) Método da "evidência"

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 1}{x^3 + 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}\right)x^3}{\left(1 + \frac{2}{x^3}\right)x^3}$

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}}{1 + \frac{2}{x^3}}$

$= \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0$

Obviamente, por qualquer um dos dois "métodos" a resposta é a mesma.

Claudin escreveu:Correto, quando for operação quociente, posso utilizar a técnica de colocar em evidência?

É por aí.

Claudin escreveu:E quando não for, procuro sempre multiplicar e dividir pelo conjugado?

Nem sempre.

Claudin escreveu:Então como resolver o exercício proposto no 1º post acima.

Desejamos resolver o limite:

$\lim_{x \to + \infty} x^3 - 4x^2 - 4$

Do jeito que está, temos uma indeterminação do tipo $+\infty - (+\infty)$ .

Aplicando os conhecimentos sobre os polinômios, sabemos que se x_1

,

e

são as raízes do polinômio que aparece nesse limite, então podemos escrever que:

$\lim_{x \to + \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = \lim_{x \to + \infty} (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

Não importa o valor das raízes, temos que o resultado desse último limite será:

$\lim_{x \to + \infty} (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = (+\infty)\cdot (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$

Portanto, temos que:

$\lim_{x \to + \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = +\infty$

Se agora desejamos calcular esse limite quando $x \to - \infty$ , então temos que:

$\lim_{x \to - \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = \lim_{x \to - \infty} (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$ $= (-\infty)\cdot (-\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$

por **Claudin** » Sáb Out 08, 2011 19:22

LuizAquino escreveu:Desejamos resolver o limite:

$\lim_{x \to + \infty} x^3 - 4x^2 - 4$

Do jeito que está, temos uma indeterminação do tipo $+\infty - (+\infty)$ .

Aplicando os conhecimentos sobre os polinômios, sabemos que se , e são as raízes do polinômio que aparece nesse limite, então podemos escrever que:

$\lim_{x \to + \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = \lim_{x \to + \infty} (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

Não importa o valor das raízes, temos que o resultado desse último limite será:

$\lim_{x \to + \infty} (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = (+\infty)\cdot (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$

Portanto, temos que:

$\lim_{x \to + \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = +\infty$

Se agora desejamos calcular esse limite quando $x \to - \infty$ , então temos que:

$\lim_{x \to - \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = \lim_{x \to - \infty} (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$ $= (-\infty)\cdot (-\infty) \cdot (-\infty) = -\infty$

Correto, as explicações anteriores eu compreendi.
Mas esse método não compreendi como assim (x-x1)...?

por **LuizAquino** » Sáb Out 08, 2011 19:35

Claudin escreveu:Mas esse método não compreendi como assim (x-x1)...?

Para compreender as explicações dadas anteriormente é necessário que você saiba fatorar um polinômio.

por **Claudin** » Sáb Out 08, 2011 19:38

Claro que eu sei fatorar.
Se pudesse me explicar somente o x-x1...
ficarei grato

por **LuizAquino** » Sáb Out 08, 2011 19:59

Claudin escreveu:Claro que eu sei fatorar.
Se pudesse me explicar somente o x-x1...
ficarei grato

Se c é uma constante, então é válido que $\lim_{x\to +\infty} x - c = +\infty$ .

Desse modo, considerando que x_1

,

e

são constantes, será válido que $\lim_{x\to +\infty} x - x_1 = +\infty$ , $\lim_{x\to +\infty} x - x_2 = +\infty$ e $\lim_{x\to +\infty} x - x_3 = +\infty$ .

E agora, como você sabe fatorar, não deve enxergar problema algum em escrever o polinômio x^3 - 4x^2 - 4

como sendo igual a (x-x_1)(x - x_2)(x-x_3)

, sendo

,

e

as raízes desse polinômio.

Portanto, no final temos que:

$\lim_{x \to + \infty} x^3 - 4x^2 - 4 = \lim_{x \to + \infty} (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$

$= \left(\lim_{x \to + \infty} x - x_1 \right) \cdot \left(\lim_{x \to + \infty} x - x_2 \right) \cdot \left(\lim_{x \to + \infty} x - x_3 \right)$

$= (+ \infty)\cdot (+ \infty) \cdot (+ \infty) = +\infty$