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Derivada - calcular a area da figura rotacionada

Derivada - calcular a area da figura rotacionada

Mensagempor maykonnunes » Qui Set 15, 2011 23:54

Encontre a área da superfície formada oela rotação, ao rdor do eixo x, do gráfico da função
f(x)= a. cosh\frac{x}{a} ,/ x\epsilon[0,a]
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Re: Derivada - calcular a area da figura rotacionada

Mensagempor LuizAquino » Sáb Set 17, 2011 20:27

maykonnunes escreveu:Encontre a área da superfície formada pela rotação, ao redor do eixo x, do gráfico da função
f(x)= a\cosh\frac{x}{a}, x\in [0,a]


Dos conhecimentos de Cálculo, sabemos que a área da superfície obtida será dada por

S = \int_{0}^{a} 2\pi f(x) \sqrt{1 + [f^\prime(x)]^2}\,dx

Por definição, o cosseno hiperbólico (representado por \cosh) é definido como:

\cosh u = \frac{e^u + e^{-u}}{2}

Sendo assim, temos que:
g(u) = \cosh u \Rightarrow g^\prime (u) =  \frac{e^u - e^{-u}}{2}

Note que podemos escrever:

\sqrt{1 + [g^\prime(u)]^2} = \sqrt{1 + \left(\frac{e^u - e^{-u}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{(e^u)^2 - 2(e^u)(e^{-u}) + (e^{-u})^2}{4}} = \sqrt{\frac{(e^u)^2 + 2 + (e^{-u})^2}{4}} = \sqrt{\frac{(e^u + e^{-u})^2}{4}} = \frac{e^u + e^{-u}}{2}

Considerando essas informações, tente terminar o exercício.

Observação
Por definição, o seno hiperbólico (representado por \textrm{senh}) é definido como:

\textrm{senh}\, u = \frac{e^u - e^{-u}}{2}

Desse maneira, temos que:

(i) [\cosh u]^\prime = \textrm{senh}\, u

(ii) [\textrm{senh}\, u]^\prime = \cosh u
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Re: Derivada - calcular a area da figura rotacionada

Mensagempor Faby » Qua Set 21, 2011 17:56

...estou tentando continuar a resolução, fiz mudançã de variável, mas não consigo encontrar a v onde dv é (e^x/a + e^-x/a)/2 dx
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Re: Derivada - calcular a area da figura rotacionada

Mensagempor Faby » Sex Set 23, 2011 14:11

...cheguei ao seguinte resultado:




será que acertei??
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Re: Derivada - calcular a area da figura rotacionada

Mensagempor LuizAquino » Sáb Set 24, 2011 00:39

Considerando as informações que postei anteriormente e usando a Regra da Cadeia, note que:

f(x) = a\cosh \frac{x}{a} \Rightarrow f^\prime (x) = a\left(\,\textrm{senh}\,\frac{x}{a}\right)\left(\frac{x}{a}\right)^\prime = \,\textrm{senh}\,\frac{x}{a}

Além disso, também temos que:

\sqrt{1 + \left(\,\textrm{senh}\,\frac{x}{a}\right)^2} = \cosh \frac{x}{a}

Portanto, precisamos apenas calcular a integral:

S = \int_{0}^{a} 2\pi  a\cosh^2 \frac{x}{a}\,dx

Utilizando as definições apresentadas anteriormente, é fácil verificar que é válida a identidade \cosh^2 u = \frac{1}{2}(1 + \cosh 2u) .

Podemos então reescrever o integrando como:

S = \int_{0}^{a} \pi a \left(1 + \cosh \frac{2x}{a}\right)\,dx =  \int_{0}^{a} \pi a \,dx + \int_{0}^{a} \pi a \cosh \frac{2x}{a}\,dx

Agora basta resolver essas duas integrais. Vale lembrar que na segunda delas podemos aplicar a substituição u = \frac{2x}{a} e du = \frac{2}{a}\,dx .

No final, o resultado será:

S = \pi a^2 \left(1 + \frac{1}{2}\,\textrm{senh}\, 2\right)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}