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Integrais (problemas de valor inicial)

Integrais (problemas de valor inicial)

Mensagempor Anne2011 » Sex Set 16, 2011 16:26

Tô com problemas para chegar no resultado dessa integral:

\frac{dv}{dt}=\frac{3}{t \sqrt[]{t²-1}}, t>1, v(2)=0

Integrando cheguei a esse resultado:

\int_{}^{}\frac{dv}{dt}dt=3\int_{}^{}\left(\frac{1}{t\sqrt{t²-1}} \right)
dv=3 arc sec t

No livro, a resposta é dv=3 arc sec t- \pi...

De onde raios saiu esse \pi :?:

e não consegui tirar essa  de dentro da raiz tbm não rsrsrs... Alguem poderia me ajudar???
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Re: Integrais (problemas de valor inicial)

Mensagempor MarceloFantini » Sex Set 16, 2011 17:22

Talvez seja da condição inicial, pois na resolução da integral o resultado será v = 3 \textrm{ arcsec } t + K, mas com a condição você encontra o valor de K.
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Re: Integrais (problemas de valor inicial)

Mensagempor Anne2011 » Sex Set 16, 2011 17:48

A condição inicial é t>1, v(2)=0, substituindo o valor de t do resultado por 2 (e eu sou pessima em arcs), significa então que o resultado de K seria esse:


\kappa=3 arc sec t

\kappa=3 arc sec 2

\kappa=-\frac{3\pi}{3}

\kappa=-\pi

Uma conclusão lógica apenas, não faço a mais minima ideia de pq arc sec 2=-\frac{\pi}{3}...

Alguem aí com uma luz para mim???
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Re: Integrais (problemas de valor inicial)

Mensagempor MarceloFantini » Sex Set 16, 2011 18:02

A função \alpha = \textrm{arcsec} t lê-se "o arco cuja secante é t", ou seja, você tem um ângulo \alpha tal que \sec \alpha = t. Vamos ao exercício para facilitar o entendimento: se \alpha = \textrm{arcsec }2 então \sec \alpha = 2, mas \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha} e daí \frac{1}{\cos \alpha} = 2 \implies \cos \alpha = \frac{1}{2}. O valor de \alpha que satisfaz é \frac{\pi}{3}, e portanto \alpha = \textrm{arcsec }2 = \frac{\pi}{3}. Então, temos v(2) = 0 \implies 3 \textrm{ arcsec }2 +K = 0 \implies K = -3 \textrm{ arcsec }2 = - \pi.
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Re: Integrais (problemas de valor inicial)

Mensagempor Anne2011 » Sex Set 16, 2011 18:53

Obrigado Fantini vou copiar isso, tô apanhando aqui com as integrais que envolvem os arcos... tenho que dedicar um tempo extra às relações trigonométricas.
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.