[Integral por substituição]: sinais do denominador

por **Caroline Oliveyra** » Dom Set 04, 2011 13:51

Olá!

Gostaria que vocês me ajudassem em uma dúvida que eu estou tendo em vários exercícios. Talvez seja um erro de matemática simples (pra variar)... *-)

Em uma das minhas listas de exercícios apareceu esta integral: $\int_{}^{}\frac{1}{x^2 - 8x +7} dx$

Bom, a minha resolução foi:

$\int_{}^{}\frac{1}{x^2 - 8x +7} dx =$

$\int_{}^{}\frac{1}{x^2 - 8x + 16 - 9} dx =$

$\int_{}^{}\frac{1}{(x - 4)^2 - 9} dx =$

$\int_{}^{}\frac{1}{9[\frac{(x - 4)^2}{9} - 1]} dx =$

$\frac{1}{9}\int_{}^{}\frac{1}{\frac{(x - 4)^2}{9} - 1} dx =$

A partir deste ponto eu fiz a substituição para a variável

(o exercício especificava que tinha que ser por substituição):

$\frac{(x - 4)^2}{9} = u^2 \rightarrow u = \frac{x - 4}{3}$

e consequentemente: $du = \frac{1}{3}dx$

Até aí tudo bem. Eu substituí o

e multipliquei a integral por três, por causa da fração que aparece no

:

$\frac{1}{9}3\int_{}^{}\frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{u^2 - 1}$

Acontece que eu coloquei essa integral no Wolfram e o resultado foi $-\frac{1}{3} arctg \frac{x-4}{3}$

Acontece que o denominador da derivada da arctg é x^2 + 1

. Colocar um sinal negativo na constante que multiplica a integral faz com que esse sinal mude? Eu tive outras dúvidas desse tipo. Tiveram denominadores que, após a subatituição na variável

, apareceu 1 - x^2

e no Wolfram tbm apareceu um resultado de arctg

... Pra mim só podia ser arctg

se aparecesse específicamente x^2 + 1

no denominador da integral.

Bom, se alguém puder esclarecer essa dúvida eu agradeço muito desde já :-D

Obrigada e beijos!!!!!

por **LuizAquino** » Dom Set 04, 2011 16:07

Você está confundindo a inversa da função tangente hiperbólica com a inversa função tangente.

Veja com atenção o que há na página wolframalpha:

: inversa-da-tangente-hiperbólica.png (28.4 KiB) Exibido 2274 vezes

Na própria página há uma referência para a definição da inversa da função tangente hiperbólica:
Inverse Hyperbolic Tangent
http://mathworld.wolfram.com/InverseHyp ... ngent.html

por **Caroline Oliveyra** » Dom Set 04, 2011 19:08

Olá!

Bom, eu coloquei outras integrais aqui no wolfram cuja resposta eu sei que é arctg

(por causa da definição) e confere com a definição de arctg que eu conheço: $arctg(x)= \frac{1}{x^2 +1}$

Não consegui entender onde foi que eu me enganei. Mesmo assim obrigada.

por **LuizAquino** » Dom Set 04, 2011 21:00

Caroline Oliveyra escreveu:Bom, eu coloquei outras integrais aqui no wolfram cuja resposta eu sei que é (por causa da definição) e confere com a definição de arctg que eu conheço: $arctg(x)= \frac{1}{x^2 +1}$

Essa não é a definição da função arcotangente!

Na verdade, o que você escreveu foi a derivada da função arcotangente:

$(\textrm{arctg} \, x)^{\prime} = \frac{1}{x^2 +1}$

Caroline Oliveyra escreveu:Não consegui entender onde foi que eu me enganei.

Bom, a minha resolução foi:

$\int_{}^{}\frac{1}{x^2 - 8x +7} dx =$

$\int_{}^{}\frac{1}{x^2 - 8x + 16 - 9} dx =$

$\int_{}^{}\frac{1}{(x - 4)^2 - 9} dx =$

$\int_{}^{}\frac{1}{9[\frac{(x - 4)^2}{9} - 1]} dx =$

$\frac{1}{9}\int_{}^{}\frac{1}{\frac{(x - 4)^2}{9} - 1} dx =$

A partir deste ponto eu fiz a substituição para a variável u (o exercício especificava que tinha que ser por substituição):

$\frac{(x - 4)^2}{9} = u^2 \rightarrow u = \frac{x - 4}{3}$

e consequentemente: $du = \frac{1}{3}dx$

Até aí tudo bem. Eu substituí o u e multipliquei a integral por três, por causa da fração que aparece no du:

$\frac{1}{9}3\int_{}^{}\frac{1}{u^2 - 1} = \frac{1}{3}\int_{}^{}\frac{1}{u^2 - 1}$

O desenvolvimento que você fez acima está correto, sendo que se você continuá-lo (aplicando frações parciais no passo que você parou) deve encontrar no final que:

$\int \frac{1}{x^2 - 8x + 7}\, dx = \frac{1}{6}[\ln|x-7|-\ln|x-1|] + c$

E se você colocar essa integral no wolframalpha verá, como ilustra a figura que enviei acima, que ele indicará o seguinte desenvolvimento:

wolframalpha.com escreveu:Possible intermediate steps:

$\int \frac{1}{x^2 - 8x + 7}\, dx$

For the integrand $\frac{1}{x^2 - 8x + 7}$ , complete the square:

$= \int \frac{1}{(x-4)^2-9}\, dx$

For the integrand $\frac{1}{(x-4)^2-9}$ , substitute u = x-4 and du = dx:

$= \int \frac{1}{u^2-9}\, du$

The integral of $\frac{1}{u^2-9}$ is $-\frac{1}{3}\textrm{tanh}^{-1}\,\left(\frac{u}{3}\right)$ :

$= -\frac{1}{3}\textrm{tanh}^{-1}\,\left(\frac{u}{3}\right)+\textrm{constant}$

Substitute back for u = x-4:

$= -\frac{1}{3}\textrm{tanh}^{-1}\,\left(\frac{x-4}{3}\right)+\textrm{constant}$

Which is equivalent for restricted x values to:

$= \frac{1}{6} [\log(7-x)-\log(1-x)]+\textrm{constant}$

$\log (x)$ is the natural logarithm
$\textrm{tanh}^{-1}\,(x)$ is the inverse hyperbolic tangent function