Integral

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 03:49

Com base no estudo das vídeo-aulas do Colaborador Oficial Luiz Aquino

Vídeo 25 -> http://www.youtube.com/watch?v=5hx99Fe5 ... ure=relmfu
Vídeo 26 -> http://www.youtube.com/watch?v=YU455XC3 ... ideo_title

Os vídeos que introduzem o conceito de Integral no curso de Cálculo, tenho a seguinte e simples dúvida.

Como calcular uma integral?

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 03:52

Como por exemplo aos 4:45 no vídeo 26 em que:

1º ex: $\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$

Gostaria de saber detalhadamente como calcular para obter este valor.

2º exemplo que gostaria de deixar, seria o $\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}$

O resultado só é $\frac{1}{2}$ porque representa metade da área da figura geométrica plana?

Gostaria de uma explicação detalhada de como fazer os devidos cálculos para resolução dos seguintes exercícios.

Obrigado

por **m0x0** » Seg Jul 25, 2011 07:13

Para o 1º exemplo tens:

$\int_{0}^{1}x^2dx=\int_{0}^{1}[\frac{x^3}{3}]=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$

Para o 2º exemplo tens:

$\int_{0}^{1}xdx=\int_{0}^{1}[\frac{x^2}{2}]=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$

Espero ter ajudado.

por **LuizAquino** » Seg Jul 25, 2011 09:07

Claudin escreveu:Como calcular uma integral?

Como foi feito nestas vídeo-aulas, podemos calcular a integral definida utilizando a sua definição, isto é, basicamente através de um limite da Soma de Riemman.

Nas próximas vídeo-aulas será apresentado um teorema muito importante (o Teorema Fundamental do Cálculo) que nos permite calcular uma integral definida de uma maneira mais simples do que através de sua definição.

Claudin escreveu:Como por exemplo aos 4:45 no vídeo 26 em que:

1º ex: $\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}$

O cálculo dessa integral é justificado devido ao que foi exposto na vídeo-aula "25. Cálculo I - Área de Superfícies Planas".

Claudin escreveu:2º exemplo que gostaria de deixar, seria o $\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}$

O resultado só é $\frac{1}{2}$ porque representa metade da área da figura geométrica plana?

No vídeo "26. Cálculo I - Integral Definida" é apresentado a definição de integral definida e é exibido como calcular essa integral pela definição.

Além disso, foi exposto no vídeo que se f(x) é uma função contínua e positiva no intervalo [a, b], então $\int_a^b f(x)\,dx$ representa a área entre o gráfico da função e o eixo x no intervalo [a, b].

Acontece que a área entre o gráfico da reta f(x) = x e o eixo x no intervalo [0, 1] é um triângulo de base e altura iguais a 1. Essa é uma interpretação geométrica para $\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{1}{2}$ .

por **LuizAquino** » Seg Jul 25, 2011 09:10

m0x0 escreveu:Para o 1º exemplo tens:

$\int_{0}^{1}x^2dx=\int_{0}^{1}[\frac{x^3}{3}]=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$

Para o 2º exemplo tens:

$\int_{0}^{1}xdx=\int_{0}^{1}[\frac{x^2}{2}]=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$

Espero ter ajudado.

Note que:
$\int_{0}^{1}x^2\,dx\neq \int_{0}^{1}[\frac{x^3}{3}]\,dx$

$\int_{0}^{1}x\,dx \neq \int_{0}^{1}[\frac{x^2}{2}]\,dx$

O que temos é:
$\int_{0}^{1}x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1$

$\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1$

Cuidado com as notações!

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 13:41

LuizAquino escreveu:Note que:
$\int_{0}^{1}x^2\,dx\neq \int_{0}^{1}[\frac{x^3}{3}]\,dx$

$\int_{0}^{1}x\,dx \neq \int_{0}^{1}[\frac{x^2}{2}]\,dx$

O que temos é:
$\int_{0}^{1}x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1$

$\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1$

Cuidado com as notações!

Não consegui compreender como chegar em:

$\int_{0}^{1}x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1$

$\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1$

se o que temos a início seria:

$\int_{0}^{1}x^2dx$

$\int_{0}^{1}xdx$

Gostaria de saber detalhadamente como obter o cálculo da integral.

Obrigado Luiz e mOxO

por **Molina** » Seg Jul 25, 2011 15:01

Boa tarde, Claudin.

Claudin escreveu:
LuizAquino escreveu:Note que:
$\int_{0}^{1}x^2\,dx\neq \int_{0}^{1}[\frac{x^3}{3}]\,dx$

$\int_{0}^{1}x\,dx \neq \int_{0}^{1}[\frac{x^2}{2}]\,dx$

O que temos é:
$\int_{0}^{1}x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1$

$\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1$

Cuidado com as notações!

Não consegui compreender como chegar em:

$\int_{0}^{1}x^2\,dx = \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^1$

$\int_{0}^{1}x\,dx = \left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1$

se o que temos a início seria:

$\int_{0}^{1}x^2dx$

$\int_{0}^{1}xdx$

Gostaria de saber detalhadamente como obter o cálculo da integral.

Obrigado Luiz e mOxO

Se me permite tentar explicar, você verá mais a frente que a integral está para a derivada, assim como a soma está para subtração e a multiplicação está para a divisão. Ou seja, são operações opostas.

Quando você tem a integral de uma função f(x), dentre outras coisas, você está interessado em saber qual a derivada que resulta em f(x).

Por exemplo:

$\int x^2 dx$

Você está interessado em achar qual a função que quando eu derivar vai resultar em x^2

.

Como já foi exposto acima, existem algumas técnicas e definições que facilitam em muitos cálculos.

Perceba que o resultado que te apresentaram de $\int x^2 dx$ é $\frac{x^3}{3}$ .

Agora derive $\frac{x^3}{3}$ e perceba que você vai encontrar x^2

.

Há ainda algumas definições como integral definida e indefinida que não vou entrar em detalhes ainda.

Compare agora o que eu disse com o seu outro exemplo de integral.

:y:

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 19:40

Consegui compreender o que você disse Molina.

Sendo:

$\int_{0}^{1}x^2dx$

Derivando

$\frac{(x^3)\prime}{3}= \frac{3x^2}{3}=x^2$

O que seria diferente de derivar a expressão toda.

$\frac{(x^3)\prime}{(3)\prime}= \frac{3x^2}{1}$

Correto?

por **Claudin** » Seg Jul 25, 2011 19:48

Sendo:

$\int_{0}^{1}xdx$

Derivando:

$\frac{(x^2)\prime}{(2)}= \frac{2x}{2}= x$

O que seria diferente de derivar a expressão toda:

$\frac{(x^2)\prime}{(2)\prime}= \frac{2x}{1}$

Correto?

por **Molina** » Seg Jul 25, 2011 20:09

Boa noite, Claudin.

Você precisa derivar TODA A FUNÇÃO e não só o numerador.

$\left(\frac{x^3}{3}\right)^\prime= \frac{1}{3} \left(x^3\right)^\prime = \frac{1}{3} 3x^2 = x^2$

$\left(\frac{x^2}{2}\right)^\prime= \frac{1}{2} \left(x^2\right)^\prime = \frac{1}{2} 2x = x$

:y:

por **Claudin** » Ter Jul 26, 2011 00:56

Boa Noite Molina,

Agora sim compreendi.

Mas como chegar em $\frac{x^3}{3}$ e $\frac{x^2}{2}$

Gostaria de saber qual próximo passo para ajudar a resolver uma integral.

Obrigado por ajudar a esclarecer a dúvida. :y:

por **Molina** » Ter Jul 26, 2011 01:14

Boa noite.

Claudin escreveu:Boa Noite Molina,

Agora sim compreendi.

Mas como chegar em $\frac{x^3}{3}$ e $\frac{x^2}{2}$

Gostaria de saber qual próximo passo para ajudar a resolver uma integral.

Obrigado por ajudar a esclarecer a dúvida.

Assim como na derivada, a integral possui alguma funções que podem ser generalizadas, sem precisar fazer muita conta. Para esses seus exemplos, temos que:

$\int x^n = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

onde C é uma constante e sempre aparecerá em integrais indefinidas (quando não aparece os limites da integral); e $n\neq -1$

por **Claudin** » Ter Jul 26, 2011 01:18

m0x0 escreveu:Para o 1º exemplo tens:

$\int_{0}^{1}x^2dx=\int_{0}^{1}[\frac{x^3}{3}]=\frac{1^3}{3}-\frac{0^3}{3}=\frac{1}{3}$

Para o 2º exemplo tens:

$\int_{0}^{1}xdx=\int_{0}^{1}[\frac{x^2}{2}]=\frac{1^2}{2}-\frac{0^2}{2}=\frac{1}{2}$

Espero ter ajudado.

Como por exemplo neste caso, ele substituiu os valores 0 e 1, no caso.
Aí encontrou direto os resultados
Mas não compreendo como ele chegou em $\frac{x^3}{3}$ e $\frac{x^2}{2}$

por **LuizAquino** » Ter Jul 26, 2011 09:46

Claudin,

Considerando as suas postagens, ao que parece você estudou a introdução sobre integrais definidas, mas você não estudou além da introdução.

Depois dessa primeira parte que apresenta a integral definida como o limite de uma Soma de Riemann, os livros de Cálculo geralmente apresentam o Teorema Fundamental do Cálculo.

Nesse contexto, é interessante que você primeiro estude essa parte do conteúdo para depois tirar as suas dúvidas.

É importante destacar também que antes de estudar o Teorema Fundamental do Cálculo é interessante revisar o conceito de antiderivada (ou primitiva) de uma função.