[triângulo / segmento] Ajuda em mais uma do colegio naval...

por **Joan** » Sáb Jul 23, 2011 13:18

Seja ABC um triângulo com lados AB=15, AC=12 e BC=18. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que PC=3AP. Tomando Q sobre BC, entre B e C, tal que a área do quadrilátero APQB seja igual a área do triangulo PQC, qual será o valor de BQ?

Gente so consegui fazer o desenho e noa raciocino mais nada...
ajudem me... por favor.

por **m0x0** » Sáb Jul 23, 2011 21:29

Começa por igualar a área do trapézio à área do triângulo, uma vez que sabes que são iguais:

$Atriangulo=\frac{b*h}{2}$

No trapézio, a base maior do trapézio é B=AB=15

, a menor é b=PQ

e a altura é h=AP=3

Temos:

No triângulo, tens a base que é b=PC=9

e a altura, como é um triângulo rectângulo, h=PQ

Temos: $Atriangulo=\frac{9*PQ}{2}$

Então: $\frac{9*PQ}{2}=\frac{45+3PQ}{2}$ então $PQ=\frac{45}{6}$

Com o valor de PQ acho que já consegues finalizar o exercício.

Espero ter ajudado.

por **Joan** » Dom Jul 24, 2011 14:37

Nao consegui desse geito amigo...

Axei uma otra resolução desse mesmo exercicio... porém nao entendi o raciocinio, se algume puder ajudar , estarei-lhe grato...

segue a figura...

e os calculos que a pessoa usou:

$\frac{2*9*x*sen\alpha}{2} = \frac{12*18*sen\alpha}{2} \Rightarrow xsen\alpha = 12sen\alpha \Rightarrow x=12$

$BQ = 18-12 \Rightarrow BQ = 6$

obs: Eu fiz do geito que o amigo me mostrou pelas areas, so que deu aproximado e nao exato... e deste modo parece mais rapido e curto... é bom para estudo aprender de outros meios...

obs2= O alpha esta subtituindo o "&" que coloquei na figura..

desde já grato a todos que se despoem a ajudar....

por **LuizAquino** » Dom Jul 24, 2011 20:20

m0x0 escreveu:Começa por igualar a área do trapézio à área do triângulo, uma vez que sabes que são iguais:

O quadrilátero APQB não é um trapézio. Note que PQ não é paralelo a AB.

Essas conclusões são consequências de duas informações:

(i) PC = 3AP. Portanto, a razão entre PC e AC é 3/4.
(ii) A área de PQC é a metade da área de ABC. Portanto, a razão entre essas áreas é 1/2.

De (i) e (ii) segue que PQ não é paralelo a AB, pois se fossem os triângulos PQC e ABC deveriam ser semelhantes, mas isso não pode ocorrer já que a razão entre suas áreas é 1/2 e a razão entre os seus lados seria 3/4. Para que eles fossem semelhantes a razão entre seus lados nesse caso deveria ser $\sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Joan escreveu:e os calculos que a pessoa usou:

$\frac{2*9*x*sen\alpha}{2} = \frac{12*18*sen\alpha}{2} \Rightarrow xsen\alpha = 12sen\alpha \Rightarrow x=12$

$BQ = 18-12 \Rightarrow BQ = 6$

Considere a figura abaixo.

: QUESTÃO 9B.GIF (2.73 KiB) Exibido 4339 vezes

Pelos dados do exercício, sabemos que a área de PQC é a metade da área de ABC.

A área de ABC é dada por $\frac{18H_1}{2}$ . Mas, note que $\textrm{sen}\,\hat{C} = \frac{H_1}{12}$ .

Por outro lado, a área de PQC é dada por $\frac{xH_2}{2}$ . Mas, note que $\textrm{sen}\,\hat{C} = \frac{H_2}{9}$ .

Como temos que $\frac{xH_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{18H_1}{2}\right)$ , vamos poder escrever que:

$\frac{2\cdot 9\cdot x \cdot \textrm{sen}\,\hat{C}}{2} = \frac{12\cdot 18 \cdot \textrm{sen}\,\hat{C}}{2}$

por **Joan** » Seg Jul 25, 2011 13:43

Só nao entendi essa parte:

Como temos que $\frac{xH_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{18H_1}{2}\right)$ , vamos poder escrever que:

$\frac{2\cdot 9\cdot x \cdot \textrm{sen}\,\hat{C}}{2} = \frac{12\cdot 18 \cdot \textrm{sen}\,\hat{C}}{2}$

por **LuizAquino** » Seg Jul 25, 2011 15:41

Isole

e

nas relações $\textrm{sen}\,\hat{C} = \frac{H_1}{12}$ e $\textrm{sen}\,\hat{C} = \frac{H_2}{9}$ .

Em seguida, substitua essas incógnitas na equação $\frac{xH_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{18H_1}{2}\right)$ .

Por fim, perceba que o 2 que está dividindo o segundo membro pode passar multiplicando o primeiro. Ou seja, temos que:

$\frac{xH_2}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{18H_1}{2}\right) \Rightarrow \frac{2xH_2}{2} = \frac{18H_1}{2}$

por **Joan** » Seg Jul 25, 2011 16:11

Obrigado Luiz aquino, obrigado pela santa paciência(pois confesso que nem eu teria a mesma paciencia comigo mesmo), obrigado ao amigo moxo tbm, oq importa é a boa intençaõ. vlw. sabedoria em dobro pra vcs.