Retas tangentes à parabola

[Filipe Ricardo Rosa]

Pessoal peço que me ajudem neste problema conforme o enunciado abaixo:
Determine a reta tangente (ou retas tangentes) à parábola e que passa pelo ponto (2,9).

Primeiramente eu tentei resolver do seguinte jeito:

Calculando o coeficiente angular
m =

Jogando na fórmula da reta tangente





Porém como se trata de uma parábola, existe outra reta tangente, que eu gostaria de ajuda para encontra-la.

[joaofonseca]

O ponto (2,9) não faz parte do gráfico da função .Senão vejamos:









Na expressão original o ponto (2,5) é o vertice da parabola.Neste caso é um máximo, logo julgo que o ponto (2,9) não faz parte do gráfico.Por isso não existe tangente a este ponto.

[MarceloFantini]

Imagino que ele não queira dizer que o ponto pertence ao gráfico, mas que o objetivo seja encontrar retas tangentes ao gráfico e que também passem por esse ponto.

[Filipe Ricardo Rosa]

Realmente, eu não tinha compreendido o enunciado, mas acredito que o Marcelo tem razão quanto ao objetivo.

Gostaria de pedir ajuda para quem puder solucionar este problema.

[Fabio Cabral]

A função derivada que você encontrou:


O ponto que ele quer que você verifique a reta tangente

Logo, o coeficiente angular seria

[Filipe Ricardo Rosa]

Caro fábio como ficaria a minha equação da reta tangente à parábola?

[MarceloFantini]

Fabio, note que significa a reta tangente a parábola no ponto 2, que não necessariamente é a reta tangente que também passa por . Ainda não tive tempo para pensar na questão, mas é bom evitar desentendimentos.

[Fabio Cabral]

Eu também imaginei isso, Marcelo. Mas fica aí um pontapé inicial pra gente tentar chegar numa resolução.
Estou correndo atrás também.

[LuizAquino]

Primeiro, note que a reta tangente a qualquer ponto da parábola toca essa parábola em apenas um ponto. Isso não acontece em outras curvas. Por exemplo, a reta tangente ao gráfico de f(x) = x³ no ponto (1, 1) também toca o ponto (-2, -8).

Dito isso, observe que a reta tangente a no ponto (k, f(k)), e que passa pelo ponto (2, 9), é dada por:


Ou seja, temos a equação dessa reta dada por:


Essa reta deve tocar apenas um ponto da parábola f. Isso significa que o valor de k é tal que a equação a seguir só tem uma única solução para x:


Arrumando essa equação, obtemos:


Para que essa equação tenha apenas uma solução para x, é necessário que o seu discriminante (isto é, seu ) seja 0. Com essa informação você determina os possíveis valores de k e consequentemente as possíveis retas tangentes.