Retas tangentes à parabola

por **Filipe Ricardo Rosa** » Dom Jul 03, 2011 19:26

Pessoal peço que me ajudem neste problema conforme o enunciado abaixo:
Determine a reta tangente (ou retas tangentes) à parábola y = -x^2 + 4x + 1

e que passa pelo ponto (2,9).

Primeiramente eu tentei resolver do seguinte jeito:

Calculando o coeficiente angular
m = y' = -2x + 4

Jogando na fórmula da reta tangente
y - y0 = m (x - x0)

Porém como se trata de uma parábola, existe outra reta tangente, que eu gostaria de ajuda para encontra-la.

por **joaofonseca** » Dom Jul 03, 2011 22:22

O ponto (2,9) não faz parte do gráfico da função -x^2+4x+1

.Senão vejamos:

0=-x^2+4x+1

Na expressão original o ponto (2,5) é o vertice da parabola.Neste caso é um máximo, logo julgo que o ponto (2,9) não faz parte do gráfico.Por isso não existe tangente a este ponto.

por **MarceloFantini** » Seg Jul 04, 2011 06:42

Imagino que ele não queira dizer que o ponto (2,9)

pertence ao gráfico, mas que o objetivo seja encontrar retas tangentes ao gráfico e que também passem por esse ponto.

por **Filipe Ricardo Rosa** » Seg Jul 04, 2011 07:59

Realmente, eu não tinha compreendido o enunciado, mas acredito que o Marcelo tem razão quanto ao objetivo.

Gostaria de pedir ajuda para quem puder solucionar este problema.

por **Fabio Cabral** » Seg Jul 04, 2011 09:45

A função derivada que você encontrou:
f'(x) = -2x+4

O ponto que ele quer que você verifique a reta tangente (2,9)

Logo, o coeficiente angular seria f'(2)= -2(2)+4 = 0

por **Filipe Ricardo Rosa** » Seg Jul 04, 2011 19:36

Caro fábio como ficaria a minha equação da reta tangente à parábola?

por **MarceloFantini** » Seg Jul 04, 2011 19:54

Fabio, note que f'(2)

significa a reta tangente a parábola no ponto 2, que não necessariamente é a reta tangente que também passa por (2,9)

. Ainda não tive tempo para pensar na questão, mas é bom evitar desentendimentos.

por **Fabio Cabral** » Seg Jul 04, 2011 20:09

Eu também imaginei isso, Marcelo. Mas fica aí um pontapé inicial pra gente tentar chegar numa resolução.
Estou correndo atrás também.

por **LuizAquino** » Qua Jul 06, 2011 10:21

Primeiro, note que a reta tangente a qualquer ponto da parábola toca essa parábola em apenas um ponto. Isso não acontece em outras curvas. Por exemplo, a reta tangente ao gráfico de f(x) = x³ no ponto (1, 1) também toca o ponto (-2, -8).

Dito isso, observe que a reta tangente a f(x) = -x^2 + 4x + 1

no ponto (k, f(k)), e que passa pelo ponto (2, 9), é dada por:
$y - 9 = f^\prime(k)(x - 2)$

Ou seja, temos a equação dessa reta dada por:
y = (-2k + 4)x + 4k + 1

Essa reta deve tocar apenas um ponto da parábola f. Isso significa que o valor de k é tal que a equação a seguir só tem uma única solução para x:
-x^2 + 4x + 1 = (-2k + 4)x + 4k + 1

Arrumando essa equação, obtemos:
-x^2 + 2kx -4k= 0

Para que essa equação tenha apenas uma solução para x, é necessário que o seu discriminante (isto é, seu $\Delta$ ) seja 0. Com essa informação você determina os possíveis valores de k e consequentemente as possíveis retas tangentes.