Contradominio de função racional

por **joaofonseca** » Dom Jul 03, 2011 11:54

Nas funções racionais existe um caso especial, em que substituindo a variável independente por um valor, se obtem zero tanto no numerador como no denominador.
Exemplo:

$y=\frac{x^2-x-12}{x-4}$

Li algures que o contradominio de uma função são todos os valores de y possíveis quando se substituí a variável independente por todos os valores possíveis para o dominio.

Analisando a função, posso concluír que não existem assintotas horizontais, e que a possível assintota vertical também não existe pois 4 anula tanto o denominador como o numerador. É precisamente em x=4 que existe um buraco no gráfico da função, diz-se que a função não está definida nesse ponto.
Simplificando:

$y=\frac{(x-4)(x+3)}{x-4}\Leftrightarrow y=x+3 , para x\neq 4$

Posso concluír que o $D'_{f}=\left \{ y\in \mathbb{R}:y\neq 7 \right \}$ ?

por **Renato_RJ** » Dom Jul 03, 2011 12:51

Bom dia João...

Seguinte, você já viu que o polinômio do numerador é divisível pelo do denominador, logo a sua função racional é y = x + 3

, logo
o domínio (conjunto onde encontramos os valores para a variável x) será $\mathbb{R}$ enquanto que o seu contradomínio (conjunto com os valores de y) será $\mathbb{R}$ . Não entendi porque o seu contradomínio é $S = \{\mathbb{R} - 7\}$ , ou você queria dizer que o seu domínio é esse ?? Pois em x=7 não existe indeterminação da função.

Abraços,
Renato.

por **joaofonseca** » Dom Jul 03, 2011 13:29

Renato_RJ abrigado,

Bem sei que a função $y=\frac{x^2-x-12}{x-4}$ não está na forma irredutível. Por isso tem um fator comum, que é x-4. Por outro lado y=x+3 é a assintota obliqua.
Na expressão original, sabemos que x tem de ser diferente de 4 pois anularia o denominador, logo 4 não faz parte do dominio da função. Por isso quando se simplifica a expressão para y=x+3 é para valores diferentes de 4.
Como 4 anula também o numerador, x=4 não é uma assintota vertical.
Substituindo x por 4 em y=x+3 obten-se y=7, por isso concluí que se a função não está definida para (4,y), o y é igual a 7.
Se o dominio são todos os números reais exeto o 4 o contradominio serão todos os números reais exeto o 7.

Está é a minha dúvida.

por **MarceloFantini** » Dom Jul 03, 2011 13:36

O contradomínio de uma função é o conjunto onde ela pode assumir valores, mas que não necessariamente o faz. Exemplo: $f: \, \mathbb{R} \to \mathbb{R}\; |\; x \mapsto x^2$ . Note que a função nunca retornará um valor negativo, entretanto a priori ela pode. Então o contradomínio pode ser os reais, mas a imagem será $\mathbb{R} - \{ 7 \}$ na sua questão.

por **Renato_RJ** » Dom Jul 03, 2011 14:09

Agora eu entendi a sua dúvida João, mas o Fantini já respondeu...

Grato Fantini....

por **telmojc** » Qui Fev 09, 2012 15:22

nao sei se o seu pensamento está correcto mas uma maneira facil de saber o contradominio é calcular funçao inversa, e ver o dominio desta que será o contradominio da função normal

por **LuizAquino** » Qui Fev 09, 2012 16:57

telmojc escreveu:nao sei se o seu pensamento está correcto mas uma maneira facil de saber o contradominio é calcular funçao inversa, e ver o dominio desta que será o contradominio da função normal

Por favor, leia o tópico:

Funções e Limites
viewtopic.php?f=107&t=7094

por **telmojc** » Qui Fev 09, 2012 19:04

ah ok
ainda não aprendi a calcular o contra dominio por limites mas acho que aprendo ainda este mês

por **MarceloFantini** » Qui Fev 09, 2012 19:07

O contradomínio é dado, e não calculado. A única pergunta relacionado a isso que pode fazer sentido é "encontre o maior contradomínio possível", pois podem existir vários.

por **LuizAquino** » Sex Fev 10, 2012 10:52

MarceloFantini escreveu:O contradomínio é dado, e não calculado. A única pergunta relacionado a isso que pode fazer sentido é "encontre o maior contradomínio possível", pois podem existir vários.

Outra questão que também faz sentido seria: "encontre o menor contradomínio possível".

Entretanto, essa questão poderia ser reescrita como: "encontre a imagem".