Derivadas

por **Isabela Sa** » Qui Jun 23, 2011 12:34

Genteeee preciso de ajuda, se alguem me der explicação ficaria muito grata.

$\lim_{x\rightarrow0}x^2.e^\frac{1}{x}$

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{senx})$

Coloquei "derivadas" mas é pq queria resolver por l'hospital

por **MarceloFantini** » Qui Jun 23, 2011 15:54

Quais são suas dúvidas e tentativas?

por **Isabela Sa** » Sex Jun 24, 2011 01:55

preciso q algm ajude a responder
pois eu n consigo por isso nao postei nada aki
minha duvida e simplismente como resolver por l'hopital esses casos.

obrigada

por **MarceloFantini** » Sex Jun 24, 2011 02:11

Transforme estes produtos numa divisão e então derive a função de cima, derive a debaixo e calcule o limite dessa nova divisão. Se continuar não existindo, repita o processo.

por **Molina** » Sex Jun 24, 2011 02:36

Use a dica do Fantini.

Lembre-se que: $e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e^{\frac{-1}{x}}}$

e que: $\frac{1}{x}-\frac{1}{senx} = \frac{senx-x}{x*senx}$

:y:

por **Isabela Sa** » Sex Jun 24, 2011 02:44

se algum de vcs 2 pudesse resolver para mim
to quebrando a cabeça mas essa regra ta me matando to errando aki ainda
algm poste a soluço com os calculos POR FAVOR

obrigada

por **MarceloFantini** » Sex Jun 24, 2011 02:50

Isabela, mostre-nos seus cálculos e assim poderemos mostrar onde você está errando e assim você aprenderá melhor.

por **Isabela Sa** » Sex Jun 24, 2011 11:08

Desisto!
Não consigo derivar isso
usa muito recurso algebrico
se algm puder me ajudar eu agradeço eternamente
mas eu queria a resolução!

Obrigada

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 24, 2011 11:15

Isabela, não há muito dificuldade em fazer isso.
Para aplicar L'Hopital, você precisa saber derivar.

Você sabe derivar?
Att,

por **Isabela Sa** » Sex Jun 24, 2011 11:22

Sei sim Fábio

Voce poderia mostrar a resolução correta? ficaria mt grata

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 24, 2011 12:08

Vamos tomar como exemplo $\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{senx})$

Como o Molina disse:

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{senx})=\lim_{x\rightarrow0}\frac{senx-x}{xsenx}$

Logo, aplique a derivada tanto em cima quanto embaixo:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(senx-x)'}{(xsenx)'}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{cosx-1}{senx+xcosx}$

Veja que ainda teremos uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ . Logo teremos que derivar novamente:

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{(cosx-1)'}{(senx+xcosx)'}= \lim_{x\rightarrow0}\frac{-senx}{2cosx-xsenx} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{-(0)}{2(1)-[(0).(0)]}=$

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{-0}{2}=0$

Caso tenha errado em algo, por favor, me corrijam.

por **Isabela Sa** » Sex Jun 24, 2011 14:04

Eu so errei quando fui derivar senx -x = cosx ai eu n sabia q derivando "-x" iria ficar -1
outra coisa seria o xsenx = senx +xcosx eu achei q derivando xsenx ficaria xcosx
algm poderia explicar-me o porque?
e sobre o limite de e, algm me ajuda?

obrigada

por **Molina** » Sex Jun 24, 2011 14:14

Boa tarde, Isabela.

Isabela Sa escreveu:outra coisa seria o xsenx = senx +xcosx eu achei q derivando xsenx ficaria xcosx

Isso é a regra do produto. Lembre-se que:

$(f(x)*g(x))' \neq f'(x)*g'(x)$

Ou seja, a derivada do produto é diferente do produto das derivadas.

Faça uma revisão deste assunto no seu material ou livro que está estudando. Há também uma outra regra para o quociente de derivadas.

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 24, 2011 14:22

Para derivar

você terá que aplicar a regra da Potência $f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)= n.x^{n-1}$
ou seja:

f(x)= -x

(veja que como o expoente não aparece, consideramos como 1, certo?) logo,
$f(x)= -x^1 \Rightarrow f'(x) = 1.{(-x)}^{1-1} \Rightarrow f'(x)=1.(-x)^{0} \Rightarrow 1.-1 = -1$

* Todo número elevado a 0 = 1.

por **Fabio Cabral** » Sex Jun 24, 2011 14:31

Isabela Sa escreveu:outra coisa seria o xsenx = senx +xcosx eu achei q derivando xsenx ficaria xcosx

Quanto à isso, como o Molina disse, aplique a Regra do Produto.

$f(x) = a(x).b(x) \Rightarrow f'(x)=a'(x).b(x)+a(x).b'(x)$ Logo:

f(x) = xsenx

(Observe que, nesse caso, existe um produto entre x e senx, então use a regra do produto)

$a(x)=x \Rightarrow a'(x)=1$
$b(x)=senx \Rightarrow b'(x) = cosx$

Agora, com base na Regra do produto:

f'(x)=a'(x).b(x)+a(x).b'(x)

por **Isabela Sa** » Sex Jun 24, 2011 15:31

Ate ai eu compreendi mas a confusao fica maior quando
tenho essa derivada f'(x)senx + xcosx

nao sei se fica (sen)'(x)+(sen)(x)'+ (x)'cosx+x(cos)' =

xcosx+senx + cosx-xsenx

Mas nao esta correto.

E sobre a "e" algm poderia me ajudar tbm?

obrigada

por **Molina** » Sex Jun 24, 2011 15:53

Boa tarde.

Para derivar isto senx + xcosx

você só precisa fazer a regra do produto no segundo termo xcosx

, veja:

(senx + xcosx)' = (senx)' + (xcosx)' = cosx + [x*(-senx)+cosx*(1)]=2cosx-xsenx

Nos mostre o que você tem feito da primeira. Eu dei uma dica de como transformar aquele produto em um quociente. Use ele!

por **Claudin** » Sex Jun 24, 2011 17:34

Vale lembrar Isabela que a regra de L'Hopital é utilizada quando há indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty}{\infty}$

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1}{x}- \frac{1}{senx})$

Tirando o mínimo e transformando em produto para facilitar os cálculos temos que:

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{senx-x}{xsenx})$

Aplicando L'Hopital devido a indeterminação temos que:

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{cosx-1}{senx+xcosx})= \frac{0}{0}$

Porém resultou em outra indeterminação devido a esse fato, aplique L'Hopital novamente, e claro vai cair na regra do produto, como foi explicado aqui em cima, vai resultar em:

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{-senx}{cosx+cosx-xsenx})$

Com isso, resolvendo o limite normalmente temos que:

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{-sen0}{cos0+cos0-0.sen0})= (\frac{0}{1+1-0})$

Portanto

$\lim_{x\rightarrow0}(\frac{1}{x}- \frac{1}{senx})= 0$

Espero ter especificado passo a passo para sanar sua dúvida, e sobre a outra questão tente pelo mesmo modo, qualquer coisa volte no tópico.

por **Claudin** » Sex Jun 24, 2011 17:46

No exemplo que envolve "e" você também irá aplicar L'Hopital duas vezes e encontrará a resposta. :y:

por **Isabela Sa** » Sáb Jun 25, 2011 00:42

fico mto agradecida pela explicaçao claudin
mas a do "e" eu n consegui resolver

por **LuizAquino** » Sáb Jun 25, 2011 22:58

Fabio Cabral escreveu: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{(cosx-1)'}{(senx+xcosx)'}= \lim_{x\rightarrow0}\frac{-senx}{2cosx-xsenx} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{-(0)}{2(1)-[(0).(0)]}=$
$\lim_{x\rightarrow0}\frac{-0}{2}=0$

A partir do momento que você faz a aproximação de x por 2, não é mais necessário colocar o símbolo de limite.

Ou seja, basta escrever:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\textrm{sen}\,x}{2\cos x-x\,\textrm{sen}\,x} = \frac{-(0)}{2(1)-[(0)\cdot (0)]}=\frac{-0}{2}=0$

Fabio Cabral escreveu:f(x)= -x (veja que como o expoente não aparece, consideramos como 1, certo?) logo,
$f(x)= -x^1 \Rightarrow f'(x) = 1.{(-x)}^{1-1} \Rightarrow f'(x)=1.(-x)^{0} \Rightarrow = 1.-1 = -1$

* Todo número elevado a 0 = 1.

Correção:
$f(x)= (-1)\cdot x^1 \Rightarrow f'(x) = (-1)\cdot 1\cdot {x}^{1-1} \Rightarrow f'(x)=(-1)\cdot x^{0}$ $\Rightarrow f'(x) = (-1)\cdot 1 \Rightarrow f'(x) = -1$

Além disso, vale destacar que:
"Todo número real não nulo elevado a 0 é igual 1".

por **Fabio Cabral** » Ter Jun 28, 2011 00:15

É, Luiz.
São coisas simples. Mas confesso a você que não dava importância a isso. Pra falar a verdade, é muito difícil encontrar um professor bem detalhista assim.
Bom, a gente aprende praticando e errando, certo? hehe

Obrigado mais uma vez!

por **LuizAquino** » Ter Jun 28, 2011 09:38

Fabio Cabral escreveu:É, Luiz.
São coisas simples. Mas confesso a você que não dava importância a isso.

Diz um provérbio chinês: só tropeçamos na pedra pequena, pois a grande nós desviamos.

É melhor você começar a dar importância aos "detalhes". Na sua área, por exemplo, um símbolo de "=" no lugar de "==" e um programa com milhares de linhas não vai funcionar direito! E detalhe: o compilador não vai avisar a você desse erro.

Fabio Cabral escreveu:Pra falar a verdade, é muito difícil encontrar um professor bem detalhista assim.

Bem, particularmente eu conheço vários! Inclusive, eu sou um deles.

Fabio Cabral escreveu:Bom, a gente aprende praticando e errando, certo? hehe

Com certeza!

por **Fabio Cabral** » Ter Jun 28, 2011 10:33

LuizAquino escreveu:
Fabio Cabral escreveu:É, Luiz.
São coisas simples. Mas confesso a você que não dava importância a isso.

Diz um provérbio chinês: só tropeçamos na pedra pequena, pois a grande nós desviamos.

É melhor você começar a dar importância aos "detalhes". Na sua área, por exemplo, um símbolo de "=" no lugar de "==" e um programa com milhares de linhas não vai funcionar direito! E detalhe: o compilador não vai avisar a você desse erro.

Fabio Cabral escreveu:Pra falar a verdade, é muito difícil encontrar um professor bem detalhista assim.

Bem, particularmente eu conheço vários! Inclusive, eu sou um deles.

Fabio Cabral escreveu:Bom, a gente aprende praticando e errando, certo? hehe

Com certeza!

É verdade. Trocar uma vírgula por um ponto ou vice-versa já é grave.
De qualquer forma, prestarei mais atenção.

ps.: Belo provérbio!

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