Como descobrir um vetor normal ao plano

por **Thiago Silveira** » Qua Jun 08, 2011 23:26

Oi pessoal, como vão.
To estudando Geometria Analítica na facul e to com dificuldade de descobrir um vetor normal a um plano dado. Como fazer isso se eu tiver a equação vetorial de um plano? Eu li alguma coisa sobre colocar a equação na forma geral e assim pegar os coeficientes dela.
Ex: 2x+5y+z+2=0

aí o vetor seria:

(2,5,1)

É isso mesmo ou tem outro modo?

Até mais e obrigado desde ja

por **LuizAquino** » Qui Jun 09, 2011 23:18

Dado um ponto P do plano e dois vetores linearmente independentes paralelos a ele, sabemos que a equação vetorial desse plano será dada por: $X = P + t\vec{u} + m\vec{v}$ , sendo t e m números reais. Os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são chamados de vetores diretores ou vetores base do plano.

Por outro lado, sabemos que um vetor normal ao plano é aquele que é ortogonal a todos os vetores paralelos a esse plano. Isto é, se $\vec{n}$ é um vetor normal ao plano dado pela equação anterior, então $\vec{n}\perp \vec{u}$ e $\vec{n}\perp \vec{v}$ .

Por fim, sabemos que um possível vetor que é ortogonal ao mesmo tempo a outros dois vetores é dado pelo produto vetorial entre eles.

Ou seja, considerando aquela equação vetorial, podemos tomar que um vetor normal ao plano será dado por: $\vec{n} = \vec{u}\times\vec{v}$ .

Exemplo
Seja o plano $\pi \,:\, X = (1,\,1,\,-9) + t(-2,\,-1,\,9) + m(-1,\,-1,\,7)$ .

Um vetor normal a esse plano é:
$\vec{n} = (-2,\,-1,\,9)\times (-1,\,-1,\,7) = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & -1 & 9 \\ -1 & -1 & 7\end{vmatrix} = 2\vec{i} + 5\vec{j} +\vec{k} = (2,\,5,\,1)$ .

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