Taxa de máxima inclinação e elevação

por **Bruhh** » Qui Jun 02, 2011 17:17

Olá Boa Tarde

Gostaria que alguém me ajudasse em um probleminha.
Tentei resolve-lo de diversas maneiras mas não deu certo. Vamos ao problema:

-Considere a possibilidade de você estar escalando um morro cujo formato é dado por:
$h = 200 + 300{e}^{-0,0001{x}^{2}} - 0,004{y}^{2} - 0,5y$
onde o eixo x está orientado para leste e o eixo y para o norte. Se sua posição inicial é
x=100m y=40m e h=248m, em que direção terá a máxima inclinação? Qual a taxa de elevação? Qual o ângulo de elevação de h?

R: u=[-0,937 ; -0,348] ou -159,6º em relação a x
Taxa máxima = 2,35m/m
ângulo = 67º

Gostaria de saber o que eu uso para resolver o problema:
*Derivada direcional? Na direção de qual vetor? Em que ponto?
*Gradiente da função?
Ou outra coisa?

Muito obrigada

por **LuizAquino** » Qui Jun 02, 2011 18:25

Lembre-se que a função f(x, y) (se ela for diferenciável) tem valor máximo da derivada direcional dado por $||\nabla f(x,\,y)||$ e ele ocorre na direção de $\nabla f(x,\,y)$ .

Eu recomendo que você revise o texto e o gabarito do exercício. Para x = 100 e y = 40 temos que h é aproximadamente 284. Além disso, u é aproximadamente [-2.207; -0.82].

por **Bruhh** » Sex Jun 03, 2011 14:33

Me desculpe, realmente digitei o valor de h errado. O valor certo é 284m e não 248m.
Mas as outras respostas estão exatamente como te mostrei. Obtive os mesmos valores
que você me disse como resposta mas como está diferente do gabarito pensei que eu estivesse
errada. Devem ter cometido algum engano no meu gabarito mesmo.

Só mais uma pergunta:
Como eu calculo o ângulo de elevação de h?
É a única coisa que ainda não sei como fazer.

Muito obrigada pela ajuda
Um bom final de semana

por **LuizAquino** » Sex Jun 03, 2011 21:25

Bruhh escreveu:Como eu calculo o ângulo de elevação de h?

$\alpha = \textrm{arctg}\,||\nabla h(100,\,40)||$

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