Limite conceitual

por **souzafontes** » Ter Mai 31, 2011 14:35

Não consigo pensar numa saída para este limite:
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x+1}{\sqrt[]{x}}$
de acordo com os cálculos isso é $+\infty$
mas se plotarmos o gráfico é visível que o limite tende a 10...
como resolver isso?

por **LuizAquino** » Ter Mai 31, 2011 17:08

mas se plotarmos o gráfico é visível que o limite tende a 10...

Que programa você está utilizando? Não confie cegamente em um programa ou em uma calculadora!

O valor do limite é de fato $+\infty$ .

Uma maneira de resolver é como segue abaixo.

$\lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to +\infty}\frac{(x+1)\cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}}$

$= \lim_{x\to +\infty}\frac{(x+1)\sqrt{x}}{x}$

$= \lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)\sqrt{x}$

$= \left(\lim_{x\to +\infty}1+\frac{1}{x}\right) \cdot \left(\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}\right)$

$= 1 \cdot (+\infty) = +\infty$

por **Claudin** » Ter Mai 31, 2011 17:17

Também encontrei a mesma resposta que o Luiz!

por **souzafontes** » Ter Mai 31, 2011 18:34

é... eu já tinha chegado nessa conclusão...
fiquei confuso pq plotei no matlab, winplot, hp50g e por fim no wolframAlpha =P
todos os gráficos tendem a 10... gozado isso...
só de observar a função a gente vê que tende ao infinito né?
bom valeu pessoal! brigadão!!

por **LuizAquino** » Ter Mai 31, 2011 20:42

souzafontes escreveu:fiquei confuso pq plotei no matlab, winplot, hp50g e por fim no wolframAlpha =P
todos os gráficos tendem a 10... gozado isso...

O erro está na sua interpretação. Você está confiando puramente em uma imagem. Você não fez uma leitura crítica dela!

Nesse caso em específico você poderia ter feito um teste simples. Até mesmo usando essas ferramentas que você citou! Se você considerar, nesse contexto, que 150 é um número "muito grande", então bastava calcular $\frac{150 + 1}{\sqrt{150}}$ . Você verá que essas ferramentas irão acusar que esse número é aproximadamente 12,33. Isso já vai de encontro com a sua interpretação meramente visual.

por **souzafontes** » Qua Jun 01, 2011 10:10

por **souzafontes** » Qua Jun 01, 2011 10:19

LuizAquino escreveu:Você não fez uma leitura crítica dela!

entendiiii!!!!
agora entendi a leitura do gráfico!
acontece que quanto mais a gente ampliar o gráfico, mais a função encosta no eixo X, mas isso é VISUAL!!
a função, OBVIAMENTE, sempre vai crescer!!
valeuzão pelo toque LuizAquino!!!

por **Fabio Cabral** » Qua Jun 01, 2011 11:27

Suponhamos que a resposta tivesse como resultado: $-1. (\infty)$ .
Seria igual a: $-\infty?$
Faríamos o jogo de sinais normalmente?

por **souzafontes** » Qua Jun 01, 2011 12:05

por **Claudin** » Qua Jun 01, 2011 12:13

$-1.-\infty = +\infty$

e nesse caso também
Jogo de sinais normalmente!

por **LuizAquino** » Qua Jun 01, 2011 14:34

Fabio Cabral, a minha vídeo-aula "05. Cálculo I - Limites Infinitos" aborda esse "jogo de sinal" com os limites infinitos. Eu acredito que ela possa lhe interessar.