Problema max e mins ( aplicações de derivadas )

[Nandodtx]

Gente tenho que resolver o seguinte problema:

Um cocho no caso seria isso : http://www.concrelaje.com.br/imgs/479d7 ... b5efd1.jpg

Entao ele ta querendo a inclinação que fornece a maior area do trapezio. Já tentei colocar o valor da base maior e da altura em função do seno do angulo e a/3 mas a função fica mto grande e a derivada mais ainda.

Se alguem tiver alguma dica deixa ai! ^^

[LuizAquino]

A figura abaixo ilustra o exercício.

trapézio.png (8.21 KiB) Exibido 6458 vezes

Você construiu uma figura semelhante?

Note que agora basta montar a função que fornece a área do trapézio em função do ângulo alfa. Vale lembrar que a incógnita a será uma constante nesse contexto.

Além disso, eu gostaria de frisar que alguns exercícios são naturalmente trabalhosos. Nos problemas de otimização não podemos nos "assustar" com a função ou suas derivadas.

[Nandodtx]

Então, a função eu conseguir fazer, mas o problema é que de alguma maneira eu to aplicando a regra da cadeia de forma errada. Não sei se deriva primeiro o produto e depois multiplica pela derivada do seno e do cosseno, ou deriva o sen e cos logo e depois aplica a regra pra produto de derivadas. :S

[LuizAquino]

A função para a área terá mais ou menos o formato:
A(x) = f(g(x))h(g(x)).

Desse modo, temos que:
A'(x) = [f(g(x))h(g(x))]' = [f(g(x))]'h(g(x)) + f(g(x))[h(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)h(g(x)) + f(g(x))h'(g(x))g'(x).

[Nandodtx]

A função fica assim:


Então a derivada seria o primeiro termo derivado multiplicado pelo segundo termo normal e vice-versa no prox, mas dai, no segundo termo fica a derivada de . Dentro dessa derivada tem outro produto, dai fico sem saber como proceder, como aplicar a regra da cadeia corretamente.

[LuizAquino]

Confira a sua função. Não haverá esse 2 multiplicando toda a expressão.

Note que a sua função está no formato:
A(x) = c[f(g(x))h(g(x)) + f(g(x))].

Isso é o mesmo que:
A(x) = c[h(g(x)) + 1]f(g(x)).

Desse modo, temos que:
A'(x) = c{[h(g(x)) + 1]'f(g(x)) + (h(g(x)) + 1)[f(g(x))]'} = c[h'(g(x))g'(x)f(g(x)) + (h(g(x)) + 1)f'(g(x))g'(x)].

[Nandodtx]

Cara, valeu meeesmo. Consegui aqui. Deu um pouco de trabalho mais deu certo. A derivada ficou:



Dai fica facil. Resposta final a = 120º

[LuizAquino]

Confira novamente a função e as suas derivadas.

A função é: .

Desse modo, temos que: .

Mas, isso é o mesmo que: .

[Nandodtx]

Realmente, procurei e achei meu erro. Contudo os pontos em que a derivada foi zero são -1 e 1/2 e fazendo o estudo do sinal da função achei que o ponto de max fica no ponto (1/2, F(1/2)). Ajudou muuuiito. Deu pra tirar varias duvidas numa questão só. To começando a vida de universitário agora, to vendo que vo usar mto esse forum aqui.
Show a atenção de vcs com nossas duvidas. Abrçs!

[LuizAquino]

Na verdade, as raízes da equação são e .

O ponto de máximo é (120°, A(120°)).

Sugestão
Eu acredito que os tópicos abaixo podem lhe interessar:
Aulas de Matemática no YouTube
viewtopic.php?f=120&t=3818

Curso de Cálculo I no YouTube
viewtopic.php?f=137&t=4280

[Nandodtx]

é, so que eu fiz cos(Pi-a) = x .Dai o ponto de max vai ser quando x = 1/2 ou x = -1, ou seja, quando alfa for 120º ou 0º

[LuizAquino]

Vale lembrar que a variável independente original da função é alfa e não x. Por esse motivo que o correto é você dizer que o ponto de máximo ocorre quando alfa = 120°. Note que o fato de você ter feito a substituição "cos(pi - alfa) = x" foi apenas para poder resolver a equação .

Além disso, ao contrário do que você disse, quando alfa = 0° irá ocorrer um ponto de mínimo e não de máximo.