Problema max e mins ( aplicações de derivadas )

por **Nandodtx** » Dom Mai 29, 2011 00:17

Gente tenho que resolver o seguinte problema:

Um cocho no caso seria isso : http://www.concrelaje.com.br/imgs/479d7 ... b5efd1.jpg

Entao ele ta querendo a inclinação que fornece a maior area do trapezio. Já tentei colocar o valor da base maior e da altura em função do seno do angulo e a/3 mas a função fica mto grande e a derivada mais ainda.

Se alguem tiver alguma dica deixa ai! ^^

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 09:42

A figura abaixo ilustra o exercício.

: trapézio.png (8.21 KiB) Exibido 6461 vezes

Você construiu uma figura semelhante?

Note que agora basta montar a função que fornece a área do trapézio em função do ângulo alfa. Vale lembrar que a incógnita a será uma constante nesse contexto.

Além disso, eu gostaria de frisar que alguns exercícios são naturalmente trabalhosos. Nos problemas de otimização não podemos nos "assustar" com a função ou suas derivadas.

por **Nandodtx** » Dom Mai 29, 2011 10:12

Então, a função eu conseguir fazer, mas o problema é que de alguma maneira eu to aplicando a regra da cadeia de forma errada. Não sei se deriva primeiro o produto e depois multiplica pela derivada do seno e do cosseno, ou deriva o sen e cos logo e depois aplica a regra pra produto de derivadas. :S

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 10:40

A função para a área terá mais ou menos o formato:
A(x) = f(g(x))h(g(x)).

Desse modo, temos que:
A'(x) = [f(g(x))h(g(x))]' = [f(g(x))]'h(g(x)) + f(g(x))[h(g(x))]' = f'(g(x))g'(x)h(g(x)) + f(g(x))h'(g(x))g'(x).

por **Nandodtx** » Dom Mai 29, 2011 10:52

A função fica assim:

y = 2a^2 [sen(Pi - a).cos(Pi - a) + sen(Pi - a)] /9

Então a derivada seria o primeiro termo derivado multiplicado pelo segundo termo normal e vice-versa no prox, mas dai, no segundo termo fica a derivada de [sen(Pi - a).cos(Pi - a) + sen(Pi - a)] '

[sen(Pi - a).cos(Pi - a) + sen(Pi - a)] '

. Dentro dessa derivada tem outro produto, dai fico sem saber como proceder, como aplicar a regra da cadeia corretamente.

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 11:15

Confira a sua função. Não haverá esse 2 multiplicando toda a expressão.

Note que a sua função está no formato:
A(x) = c[f(g(x))h(g(x)) + f(g(x))].

Isso é o mesmo que:
A(x) = c[h(g(x)) + 1]f(g(x)).

Desse modo, temos que:
A'(x) = c{[h(g(x)) + 1]'f(g(x)) + (h(g(x)) + 1)[f(g(x))]'} = c[h'(g(x))g'(x)f(g(x)) + (h(g(x)) + 1)f'(g(x))g'(x)].

por **Nandodtx** » Dom Mai 29, 2011 12:26

Cara, valeu meeesmo. Consegui aqui. Deu um pouco de trabalho mais deu certo. A derivada ficou:

y= 2a^2 [2[cos(Pi -a)]^2 + cos(Pi - a) -1]

Dai fica facil. Resposta final a = 120º

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 12:54

Confira novamente a função e as suas derivadas.

A função é: $A(\alpha) = \frac{a^2}{9}[\cos(\pi - \alpha) + 1]\textrm{sen}\, (\pi - \alpha)$ .

Desse modo, temos que: $A^\prime(\alpha) = \frac{a^2}{9}[\textrm{sen}^2\, (\pi - \alpha) - \cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha)]$ .

Mas, isso é o mesmo que: $A^\prime(\alpha) = \frac{a^2}{9}[1-2\cos^2(\pi - \alpha) - \cos(\pi - \alpha)]$ .

por **Nandodtx** » Dom Mai 29, 2011 14:37

Realmente, procurei e achei meu erro. Contudo os pontos em que a derivada foi zero são -1 e 1/2 e fazendo o estudo do sinal da função achei que o ponto de max fica no ponto (1/2, F(1/2)). Ajudou muuuiito. Deu pra tirar varias duvidas numa questão só. To começando a vida de universitário agora, to vendo que vo usar mto esse forum aqui.
Show a atenção de vcs com nossas duvidas. Abrçs!

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 20:55

Na verdade, as raízes da equação $A^\prime(\alpha) = 0$ são $\alpha = 120^\circ$ e $\alpha = 0^\circ$ .

O ponto de máximo é (120°, A(120°)).

Sugestão
Eu acredito que os tópicos abaixo podem lhe interessar:
Aulas de Matemática no YouTube
viewtopic.php?f=120&t=3818

Curso de Cálculo I no YouTube
viewtopic.php?f=137&t=4280

por **Nandodtx** » Seg Mai 30, 2011 10:22

é, so que eu fiz cos(Pi-a) = x .Dai o ponto de max vai ser quando x = 1/2 ou x = -1, ou seja, quando alfa for 120º ou 0º

por **LuizAquino** » Seg Mai 30, 2011 11:44

Vale lembrar que a variável independente original da função é alfa e não x. Por esse motivo que o correto é você dizer que o ponto de máximo ocorre quando alfa = 120°. Note que o fato de você ter feito a substituição "cos(pi - alfa) = x" foi apenas para poder resolver a equação $A^\prime(\alpha) = 0$ .

Além disso, ao contrário do que você disse, quando alfa = 0° irá ocorrer um ponto de mínimo e não de máximo.

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