Sistema linear por matrix

por **benni** » Ter Mai 17, 2011 15:41

Resolva o sistema de equações linear:
$\begin{vmatrix} 8 & -5 & 2\\ 3 & -1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ \end{vmatrix}$ . $\begin{pmatrix} x & \\ y & \\ z & \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 0 & \\ 0 & \\ 0 & \\ \end{pmatrix}$

e discuta o significado geométrico do conjunto solução, se exixtir.

por **carlosalesouza** » Ter Mai 17, 2011 17:50

Primeiramente, encontramos a Determinante.

Para isso, reproduzimos as 2 primeiras colunas à direita:

$\begin{vmatrix} 8 & -5 & 2 & 8 & -5\\ 3 & -1 & 1 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

E somamos o produto das diagonais para a direita e subtraímos o das diagonais para a esquerda:
$\\ D = 8.(-1).1+(-5).1.1+2.3.2 - 2(-1).1 - 8.1.2 - (-5).3.1\\ D = -8 - 5 + 12 + 2 - 16 + 15 \\ D = 29 - 29\\ D = 0$

A Determinante é 0...

Substituindo a primeira coluna da matriz pela coluna depois da igualdade, neste caso, 0, 0 e 0, teremos a Dx, substituindo a segunda, teremos Dy e a terceira nos dará Dz...

Com isso, sabemos que $x = \frac{Dx}{D},y=\frac{Dy}{D},z=\frac{Dz}{D}$

Entretanto, como sabemos que D = 0 e que 0 não é um divisor válido, logo, não existe conjunto solução...

por **MarceloFantini** » Ter Mai 17, 2011 19:37

Pelo contrário, o conjunto solução é infinito. Veja que se fizermos x=y=z=0

, já temos uma solução. Neste caso, o sistema é possível e indeterminado, pois existem inúmeras soluções.

por **carlosalesouza** » Qua Mai 18, 2011 00:11

Isso mesmo... rs foi gafe minha... estava saindo quando comecei a responder ao topico e acabei fazendo um serviço mal feito... rs

Depois pensei a respeito e vi meu erro... dai fiquei pensando... tenho que voltar pra casa pra responder certo aquele tópico... rs

O principal erro é que, apesar de D ser 0, que não pode ser divisor, Dx = Dy = Dz = 0, ou seja, teríamos 0/0, que cai em uma indeterminação...

Um abraço

por **benni** » Qua Mai 18, 2011 13:00

Obrigado pessoal pela ajuda, mas pensei assim
fiz a matriz aumentada adicionando a coluna do zero e por consequencia qualquer métodode resolução ira resultar em x = 0 , y = 0 e z = 0
como Det(A) = -12
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
agora a analise geometrica,não consegui vizualizar?

por **carlosalesouza** » Qui Mai 19, 2011 09:19

Admitindo um sistema determinado, com as variáveis igual a zero, a solução se posiciona no ponto (0,0,0) que é a origem do plano cartesiano tridimensinal...

por **MarceloFantini** » Qui Mai 19, 2011 18:38

Esta é uma das soluções, mas não explica as outras. Para isto, é necessário saber que ax+by+cz=d

é a equação de um plano, logo, se a única solução é a trivial, isso quer dizer três planos que se interceptam apenas na origem. Outras possibilidades são: três planos que tem uma reta em comum ou na verdade são o mesmo plano.

por **arima** » Qui Mai 19, 2011 21:29

Eu fiz por esclonamento e fiz em função da variavel z.Deu duas equações e tres incognitas.Chamei z de alfa e as soluçoes ficaram em função de z.Portanto sistema possivel indeterminado com infinitas soluçoes.agora ta dififcil representar no plano pois não sei como trabalhar com winplot.

por **arima** » Qui Mai 19, 2011 21:34

Eu fiz por esclonamento e fiz em função da variavel z.Deu duas equações e tres incognitas.Chamei z de alfa e as soluçoes ficaram em função de z.Portanto sistema possivel indeterminado com infinitas soluçoes.agora ta dififcil representar no plano pois não sei como trabalhar com winplot.

por **lanca** » Sáb Mai 21, 2011 18:26

Pessoal vc chegaram em algo assim:

y= -2z/7 e x= -1z/14

por **lanca** » Sáb Mai 21, 2011 22:59

Oi benni!!!

Eu fiz por escalonamento e encontrei após refazer os cálculos que:

y= -2z/7 e x= -3z/7

por **arima** » Dom Mai 22, 2011 17:33

Eu também fiz assim.

por **LuizAquino** » Dom Mai 22, 2011 18:19

A matriz ampliada do sistema é:
$\begin{bmatrix} 8 & -5 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\end{bmatrix}$

Façamos por escalonamento.

Primeiro, troque de posição a linha 1 com a linha 3.

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 \\ 8 & -5 & 2 & 0\end{bmatrix}$

Façamos:
linha 2 recebe: (linha 2) - 3*(linha 1)
linha 3 recebe: (linha 3) - 8*(linha 1)

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & -21 & -6 & 0\end{bmatrix}$

Façamos:
linha 3 recebe: (linha 3) - 3*(linha 2)

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Façamos:
linha 1 recebe: 2*(linha 1) + (linha 2)

$\begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

Logo, o sistema equivalente é:
$\begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ -7y - 2z = 0 \end{cases}$

Geometricamente, isso é a interseção de dois planos que resulta na reta:
$\begin{cases} x = -\frac{3}{7}t \\ y = -\frac{2}{7}t \\ z= t \end{cases}$

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