Estrategias para resoluçao de limites

por **Claudin** » Dom Mai 15, 2011 14:13

Em alguns exemplos em que usei estrategias diferentes
o resultado nao foi exato!

Por exemplo
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt[]{x^2+7x}-x$

a forma estratégica pela qual vc adotou no video foi de multiplicar e dividir a expressao por $\sqrt[]{x^2+7x}-x$
e dps da multiplicação e divisão, dividir tanto o numerador quanto o denominador por x, oq resultou em $\frac{7}{2}$

Porém eu tentei fazer dividindo logo de cara, por x, e não consegui chegar no mesmo resultado
entao eu gostaria de saber, essas estrategias para resolução sao pela lógica e pela suposição nao é? Ou tem alguma
forma de análise que facilite, encontrar a estrategia exata, se é que existe uma estratégia exata. (podem ter outras, claro!)
obrigado

por **MarceloFantini** » Dom Mai 15, 2011 19:46

Você errou um sinal: é multiplicar e dividir por $\sqrt{x^2 +7x} + x$ .

por **LuizAquino** » Dom Mai 15, 2011 19:54

Apenas para esclarecer, no vídeo "06. Cálculo I - Limites no Infinito" a estratégia usada é como lembrou MarceloFantini. Isto é, multiplicar e dividir por $\sqrt{x^2 +7x} + x$ .

Você disse ter dividido tudo por x. Ora, mas fazendo apenas isso você altera a expressão original.

Por exemplo, considere que você tem o número 5 e apenas o divide por 2. Sabemos que $5 \neq \frac{5}{2}$ .

Por outro lado, considere que você tem o número 5 e irá multiplicá-lo e dividi-lo por 2. Nesse caso, temos que $5 = \frac{5\cdot 2}{2}$ .

Portanto, o que você poderia tentar seria:
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\sqrt{x^2+7x}-x = \lim_{x\rightarrow+\infty} \left(\frac{\sqrt{x^2+7x}-x}{x}\right)x$

$= \lim_{x\rightarrow+\infty} \left(\sqrt{1+\frac{7}{x}}-1\right)x$

Mas, note que esse limite é uma indeterminação do tipo $0\cdot (+\infty)$ . Isso significa que nesse caso essa estratégia não é útil para nos levar na solução do exercício.

por **Claudin** » Seg Mai 16, 2011 00:23

Entendi, usando essa estratégia iria cair em uma indeterminação
por isso nao seria coerente.

Mas em qualquer expressao, se eu usar um artificio por exemplo de dividir tanto o denominador
como o numerador pelos mesmo valor, isso tambem seria incoerente?

obrigado pela ajuda

por **MarceloFantini** » Seg Mai 16, 2011 00:31

Não entendo sua idéia. Poderia exemplificar?

por **Claudin** » Seg Mai 16, 2011 00:45

Eu compreendi suas explicaçoes

To com uma duvida "boba", pq acho q eu dei uma pequena confundida
quando no exemplo acima ele falou q mudaria a equaçao, se eu dividisse por x!

Por exemplo $\lim_{x\rightarrow2} \frac{x-3}{x-2}$

A resposta no caso seria $-\infty$ ?

Ou seja se eu dividisse tanto o numerador como o denominador nao mudaria o resultado.
Voltando na 1ª pergunta agora, isso q eu fiquei com duvida agora após o esclarecimento, se eu dividindo tudo por x, tanto o numerador como denominador o resultado teria que ser o mesmo ne?
Só nao deu certo no 1º exemplo, porque caiu em uma indeterminaçao. Fui mais claro?
Mas deu pra entender oq vcs explicaram!
obrigado

por **MarceloFantini** » Seg Mai 16, 2011 00:59

Sim, é menos infinito. Veja que o numerador tende a uma constante negativa, e o numerador faz tudo tender a infinito, logo tende a menos infinito. E respondendo agora sua dúvida: sim, dividir numerador e denominador por x manterá tudo igual, o resultado não difere.