Rotação de pontos

por **filduarte** » Seg Mai 02, 2011 12:57

Olá, preciso de ajuda. Já quebrei a cabeça mas não consigo resolver este problema. Eu tenho um retângulo com outros retângulos dentro. O retângulo principal gira 15º e eu preciso descobrir a distância do vértice mais distante dos retângulo internos em relação ao retângulo original (antes de ser rotacionado). Segue imagem para facilitar a compreensão:

Imagem

As variáveis que são conhecidas são:

- x (largura do retângulo principal);
- y (altura do retângulo principal);
- ax (distância no eixo x do vértices do retângulo interno antes da rotação);
- ay (distância no eixo y do vértices do retângulo interno antes da rotação);
- w (largura do retângulo interno);
- h (altura do retângulo interno);

Preciso descobrir bx e by. Já tentei utilizando razões trigonométricas, mas não dá certo.

por **FilipeCaceres** » Seg Mai 02, 2011 20:44

Rotacionar os eixos de um ângulo $\alpha$ e escrever as novas coordenadas de C são equivalentes a escrever as coordenadas de C' (vetor rotacionado em $-\alpha$ ) no sistema original. Observe a figura

: rotacao.png (5.11 KiB) Exibido 2649 vezes

Assim temos,
$\overline{0C'}=\overline{OC}.cis(-\alpha)$
$x'+y'.i=(x+y.i).(cos\alpha -i.sen\alpha )$

Assim temos,
$x'=x.cos\alpha+y.sen\alpha$
$y'=-xsen\alpha +ycos\alpha$

Espero que tenha entendido, com isso acho que seja suficiente para você resolver a sua questão.

Qualquer dúvida poste novamente.

Abraço.

por **LuizAquino** » Seg Mai 02, 2011 22:12

Aplicando a sugestão de FilipeCaceres, podemos rearrumar o problema original como ilustra a figura abaixo.

Note que no sistema xOy as coordenadas de A são (ax, ay). Além disso, note que no sistema x'Oy' as coordenadas de B também são (ax, ay).

O que você deseja é descobrir as coordenadas de B em relação ao sistema xOy. Suponha que essas coordenadas sejam (k, m).

Substituindo essas informações no sistema de equações indicado, teremos:
$\begin{cases} k\cos 15^\circ + m\,\textrm{sen}\,15^\circ = a_x \\ -k\,\textrm{sen}\,15^\circ + m\cos 15^\circ = a_y \end{cases}$

Agora, basta você resolver esse sistema para encontrar k e m.

Por fim, note que usando a notação da figura original, temos que b_x = m

e

.

Em seu perfil consta que você é aluno do curso de Desenho Industrial. Esse problema que você quer resolver surgiu em algum projeto que você está trabalhando?

Observação
Na disciplina de Geometria Analítica estudamos a rotação de eixos e a mudança de coordenadas. Eu recomendo que você procure por materiais ou livros dessa disciplina.

por **filduarte** » Ter Mai 03, 2011 13:56

LuizAquino escreveu:Em seu perfil consta que você é aluno do curso de Desenho Industrial. Esse problema que você quer resolver surgiu em algum projeto que você está trabalhando?

Sim o problema surgiu durante um projeto. O tal retângulo externo que falei é um movieclip do flash e os retângulos menores são fotos. O que eu preciso é descobrir os pontos das fotos que ficam mais perto das extremidades esquerda, direita, superior e inferior. O exemplo que dei foi do ponto mais à direita.

Confesso que não consegui resolver o sistema (tentei pelo método da comparação) e peço a paciência de vocês para me ajudar a resolvê-lo. Para facilitar as coisas vamos assumir que sen15^o = 0,258

e

:

$k = \frac{a_x - 0,258m}{0,965}$

Substituindo na segunda equação:

$-\frac{a_x - 0,258m}{0,965} + 0,965m = a_y$

Pois é, mas eu empaco aí. Não me lembro como inverter a equação quando tenho uma divisão de uma equação. Ficaria assim?
$m = \frac{0,965a_y + a_x + 0,258}{0,965}$

por **LuizAquino** » Ter Mai 03, 2011 15:50

É mais fácil você resolver o sistema pelo método da soma.

Basta você multiplicar a primeira equação por $\,\textrm{sen}\,15^\circ$ e a segunda por $\cos\,15^\circ$ . Somando as duas equações resultantes, você irá determinar m.

Em seguida, basta você multiplicar a primeira equação por $\cos\,15^\circ$ e a segunda por $\,\textrm{sen}\,15^\circ$ . Somando as duas equações resultantes, você irá determinar k.

por **filduarte** » Sex Mai 06, 2011 11:56

Valeu pela ajuda! Consegui resolver. Só não entendi uma coisa:

0,965k + m * 0,258 = x (*0,258)

Aí a soma daria:

1,223m * 0,997 = 0,258x + 0,965y

Ou seja:

$m=\frac{0,258x + 0,965y}{2,22}$

Só que essa expressão estava dando errado, até que percebi que se eu não dividisse por 2,22 ela dava certo. Onde está o meu erro?

Mais uma coisa: não entendi por que você disse que para descobrir k eu precisava multiplicar a primeira equação por cos15º e a segunda por sen15º. Bastou eu substituir o m numa das equações do sistema original e resolvi o problema.

por **LuizAquino** » Sex Mai 06, 2011 12:26

Você errou aqui:

0,24897k + 0,258m * 0,066 = 0,258x
-0,24897k + 0,965m * 0,931 = 0,965y

Deveria ficar apenas com:
0,24897k + 0,066m = 0,258x
-0,24897k + 0,931m = 0,965y

Agora, vejamos a resolução usando a minha sugestão.

Primeira parte
$\begin{cases} (k\cos 15^\circ + m\,\textrm{sen}\,15^\circ = a_x)\cdot\,\textrm{sen}\,15^\circ \\ (-k\,\textrm{sen}\,15^\circ + m\cos 15^\circ = a_y)\cdot\cos 15^\circ \end{cases}$

$\begin{cases} k\cos 15^\circ\,\textrm{sen}\,15^\circ + m\,\textrm{sen}^2\,15^\circ = a_x\,\textrm{sen}\,15^\circ \\ -k\cos 15^\circ\,\textrm{sen}\,15^\circ + m\cos^2 15^\circ = a_y\cos 15^\circ\end{cases}$

$m(\,\textrm{sen}^2\,15^\circ + \cos^2 15^\circ) = a_x\,\textrm{sen}\,15^\circ + a_y\cos 15^\circ$

$m = a_x\,\textrm{sen}\,15^\circ + a_y\cos 15^\circ$

Segunda parte
$\begin{cases} (k\cos 15^\circ + m\,\textrm{sen}\,15^\circ = a_x)\cdot\cos 15^\circ \\ (-k\,\textrm{sen}\,15^\circ + m\cos 15^\circ = a_y)\cdot\,\textrm{sen}\,15^\circ \end{cases}$

$\begin{cases} k\cos^2 15^\circ + m\cos 15^\circ\,\textrm{sen}\,15^\circ = a_x\cos 15^\circ \\ -k\,\textrm{sen}^2\,15^\circ + m\cos 15^\circ\,\textrm{sen}\,15^\circ = a_y\,\textrm{sen}\,15^\circ\end{cases}$

$k(\cos^2 15^\circ + \,\textrm{sen}^2\,15^\circ) = a_x\cos 15^\circ - a_y\,\textrm{sen}\,15^\circ$

$k = a_x\cos 15^\circ - a_y\,\textrm{sen}\,15^\circ$

Observação
É óbvio que poderíamos ter usado a expressão determinada para m na primeira etapa para determinar o k na segunda etapa. Mas, eu prefiro fazer esse exercício assim, pois as expressões para k e m ficam mais simples.