Duvida numa funçao definida por ramos

por **AnaOliveira** » Sáb Abr 30, 2011 16:54

boa tarde... eu estou cm uma duvida numa funçao definida por ramos que é:

f(x,y) = x^3/(x^2 + y^2) se x > 0 e f(x,y) = x * ln(1+y^2) se x <= 0

Como verifico se a funçao é continua no ponto 0,0
pego no ramo d cima ou d baixo?
Na minha prespectiva deveria incluir o que tem o zero. Contudo estou co duvidas. Se me pudessem esclarecer.

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 30, 2011 18:26

Editado, explicado abaixo.

por **LuizAquino** » Sáb Abr 30, 2011 18:55

Eu gostaria de recomendar que você assista ao vídeo:
04. Cálculo I - Limites e Continuidade
http://www.youtube.com/watch?v=NOPEwktLxgw

Nesse vídeo há exercícios semelhantes a este, porém para funções de apenas uma variável.

por **AnaOliveira** » Sáb Abr 30, 2011 20:26

Agradeço a vossa ajuda!
Houve uma pessoa que entretanto me disse que para a resolução do problema teria de calcular o limite de x >0 e x < 0 e verificar se ambos sao iguais a zero.
Pelo que entendi tambem se pode resolver assim. Correcto?
Tinha a percepçao de que a continuidade em R era diferente de R2, por estarmos a trabalhar no plano e nao podermos seguir unicamente pela esquerda ou pela direita, devido a existirem varias formas de nos aproximarmos de 0.

por **LuizAquino** » Sáb Abr 30, 2011 20:30

Houve uma pessoa que entretanto me disse que para a resolução do problema teria de calcular o limite de x >0 e x < 0 e verificar se ambos sao iguais a zero.
Pelo que entendi tambem se pode resolver assim. Correcto?
Tinha a percepçao de que a continuidade em R era diferente de R2, por estarmos a trabalhar no plano e nao podermos seguir unicamente pela esquerda ou pela direita, devido a existirem varias formas de nos aproximarmos de 0.

Deve-se analisar todos os caminhos como o colega Fantini disse abaixo.

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 30, 2011 20:35

Apaguei minha mensagem pois estava errado. Se não me engano, o limite não deve existir pois o limite do primeiro ramo não existe. Entretanto, isso é uma função de duas variáveis, então tecnicamente deveríamos mostrar por todos os caminhos?

por **LuizAquino** » Sáb Abr 30, 2011 20:37

MarceloFantini escreveu:Entretanto, isso é uma função de duas variáveis, então tecnicamente deveríamos mostrar por todos os caminhos?

Sim.

por **AnaOliveira** » Sáb Abr 30, 2011 20:41

O primeiro limite existe! Eu provei pela definiçao que existe.! Sendo assim.. fiquei um pouco confusa. :S

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 30, 2011 20:49

Note que eu disse "se não me engano", e neste caso eu me enganei. *-)

por **AnaOliveira** » Sáb Abr 30, 2011 20:54

Sim sim.. Contudo fiquei na duvida.. Sempre se resolve através da resolução dos dois limites correcto?

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 30, 2011 21:11

Sim, e os dois existem nesse caso. Como a função está definida em zero também e coincide com os limites, então ela é contínua no ponto.

por **AnaOliveira** » Sáb Abr 30, 2011 21:13

Agradeço a ajuda!
:-D

por **NMiguel** » Dom Mai 01, 2011 19:35

A função é, de facto, continua em (0,0).

Basta ver que:

$\lim_{\left (x,y \right )\rightarrow \left (0^{+},0 \right )}\left |f(x,y) \right |=\lim_{\left (x,y \right )\rightarrow \left (0^{+},0 \right )}\left |\frac{x^3}{x^2+y^2} \right |\leq \lim_{\left (x,y \right )\rightarrow \left (0^{+},0 \right )}\left |\frac{(\sqrt{x^2+y^2})^3}{x^2+y^2} \right |=\lim_{\left (x,y \right )\rightarrow \left (0^{+},0 \right )}\left |\sqrt{x^2+y^2} \right |=0$

$\lim_{\left (x,y \right )\rightarrow \left (0^{-},0 \right )}f(x,y)=\lim_{\left (x,y \right )\rightarrow \left (0^{-},0 \right )}x\times ln(1+y^2)=0\times 0=0$

$f(0,0)=0\times ln(1+0^2)=0$