Sistema - função 2º resolução!

por **jamiel** » Sáb Abr 23, 2011 13:28

Sabe-se que a parábola que representa a função y = -x²+bx+c passa pelo ponto (3;5) e que seu vértice é (m;5/4). Calcule b,c e m.

-b/2•(-1) = m (1)

-?/4•(-1) = 5/4 ---- 5/4•-4 = -20/4 = -5² = ?25 = 5 --->

-[b² -4•(-1)•c] / 4•(-1) = 5/4
b² -4c("?25 =5") = 5 (2)

-(3)² + 3b + c = -5
-9 + 3b + c = -5
3b + c = 4 (3)

Sistema ---->

b² + 4c = 5
3b + c = 4

Aqui é q eu não consegui ir adiante. Se eu considerar o "c=4", obtenho o valor de b²=-11 ---- -11/-2 = "m = 11/2". Porém, não senti precisão, mais, teria q obter mais um "c=-29", o q seria meio contraditório. A coordenadas são (11;-29) e (1;1), no gabarito!

Alguém pode me ajudar nessa? Agrandeço desde já!

por **LuizAquino** » Sáb Abr 23, 2011 13:54

jamiel escreveu:Sabe-se que a parábola que representa a função y = -x²+bx+c passa pelo ponto (3; -5) e que seu vértice é (m; 5/4). Calcule b, c e m.

Observação: No texto original do exercício a parábola passa pelo ponto (3; -5) ou (3; 5)? Se ela passa pelo ponto (3; -5) então é necessário resolver o sistema:

$\begin{cases} -3^2 + 3b + c = -5 \\ -\frac{b^2-4(-1)c}{4(-1)} = \frac{5}{4} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3b + c = 4 \\ b^2+4c = 5 \end{cases}$

Agora, basta resolver a equação b^2+4(4-3b)=5

para encontrar b' e b''. Com esses valores você pode calcular c', c'', m' e m''.

por **jamiel** » Sáb Abr 23, 2011 14:16

Desculpa! (3;-5). Mas eu não estou encontrando lógica nesse sistema, fique intrigado com isso.

por **jamiel** » Sáb Abr 23, 2011 14:22

rsrsrsrs
Caramba! Isso é complicado, viu. Quer dizer q pelo simples fato de uma das equações está com "b²" era pra eu ter deduzido a sua resolução integrando-as para formar uma nova equação, só q em "b"?

Atualmente, estou cursando Lic. Química, mas estou entusiasmado com a matemática. Pretendo mudar para matemática ou física.

Thank you!

por **LuizAquino** » Sáb Abr 23, 2011 14:29

jamiel escreveu:rsrsrsrs
Caramba! Isso é complicado, viu. Quer dizer q pelo simples fato de uma das equações está com "b²" era pra eu ter deduzido a sua resolução integrando-as para formar uma nova equação, só q em "b"?

Eu apenas usei o método da substituição, no qual isolamos uma incógnita em uma das equações e substituímos na outra equação (neste caso, eu isolei c na primeira equação). Desse modo, geramos uma nova equação com apenas uma incógnita (neste caso, com apenas b). Após ter determinado o valor dessa incógnita (no caso, b), nós usamos qualquer uma das equações originais para determinar o valor da outra incógnita (ou seja, c).

por **jamiel** » Sáb Abr 23, 2011 14:36

Obrigado mais uma vez. Agora, eu tenho ouvido, não é de hoje, as pessoas falarem em "método". Existe algum material, livro com métodos matemáticos, vc poderia me dar uma dica acerca disso?

por **jamiel** » Sáb Abr 23, 2011 15:31

Tentei resolver com o mesmo método, mas não consegui.

Calcule os valores de b e c, sabendo que a parábola que representa a função f(x) = x² + bx + c tem vértice (3/2;-1/4).

por **jamiel** » Sáb Abr 23, 2011 16:42

Eu acho q consegui!

x² + bc + c ---- os vértices(3/2;-1/4)

-b/2•1 = 3/2, como o resultado é positivo, tem-se:3/2•2 = 3"-b"-(-3)/2 = 3/2. o valor "b"

(3/2)² + 3/2b + c = -1/4
9/4 - 3/2•(-3) + c = -1/4
9/4 -9/2 + c = -1/4
c = -1/4 -9/4 + 9/2
c = -5/2 + 9/2
c = 2

Os valores de b e c, respectivamente, são -3 e 2. Não consegui resolver com o mesmo método da anterior!

vlw...

por **LuizAquino** » Sáb Abr 23, 2011 21:05

jamiel escreveu:Obrigado mais uma vez. Agora, eu tenho ouvido, não é de hoje, as pessoas falarem em "método". Existe algum material, livro com métodos matemáticos, vc poderia me dar uma dica acerca disso?

São três métodos básicos vistos na (antiga) 7ª ou 8ª séries:

método da substituição;
método da comparação;
método da soma.

Com certeza você deve achar muito material sobre isso apenas usando uma ferramenta de pesquisa, como o Google por exemplo.

Calcule os valores de b e c, sabendo que a parábola que representa a função f(x) = x² + bx + c tem vértice (3/2;-1/4).

Note que a partir dos dados do problema você pode obter três equações:
(i) $\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2}b + c = -\frac{1}{4} \Rightarrow 6b + 4c = -10$

(ii) $-\frac{b}{2\cdot 1} = \frac{3}{2} \Rightarrow b=-3$

(iii) $-\frac{b^2-4\cdot 1 \cdot c}{4\cdot 1} = -\frac{1}{4} \Rightarrow b^2-4c=1$

Se você decidir usar (i) e (iii), então você teria um sistema que obviamente poderia ser resolvido usando o método da substituição. Entretanto, é mais inteligente nesse caso usar (ii) e (i) ou (ii) e (iii), já que por (ii) já temos o valor de b.

por **jamiel** » Sáb Abr 23, 2011 22:12

Bastante esclarecedora sua explicação. Obrigado, mesmo, mais uma vez!

por **Maria Tamires** » Qui Jul 11, 2013 13:22

Luis eu não consegui entender a sua resolução
por favor, você pode me explica porque no seu último sistema o ${b}^{2}$ não é negativo e como você conceguil cancelar os denominadores sendo que um é positivo e outro negativo!!?
Obrigada

por **LuizAquino** » Qui Jul 11, 2013 14:15

Maria Tamires escreveu:Luis eu não consegui entender a sua resolução
por favor, você pode me explica* porque no seu último sistema o ${b}^{2}$ não é negativo e como você conceguil** cancelar os denominadores sendo que um é positivo e outro negativo!!?
Obrigada

Lembretes
* explicar
** conseguiu

Você está se referindo a última equação do primeiro exercício? No caso, a equação $-\frac{b^2-4(-1)c}{4(-1)} = \frac{5}{4}$ ?

Se esta for sua dúvida, note que:

$-\frac{b^2-4(-1)c}{4(-1)} = \frac{5}{4}$

$(-1)\left[\frac{b^2-4(-1)c}{4(-1)}\right] = \frac{5}{4}$

$\frac{b^2-4(-1)c}{4} = \frac{5}{4}$

Agora tente continuar a partir daí.

Observação

Não há problema algum se "um denominador é positivo e o outro é negativo".

Por exemplo, suponha que você precisa resolver a seguinte equação:

$\frac{2x - 1}{-4} = \frac{5}{4}$

Note que se você multiplicar ambos os membros por -4, você ficará com:

$(-4)\left(\frac{2x - 1}{-4}\right) = (-4)\left(\frac{5}{4}\right)$

2x - 1 = -5

A partir daí, fica fácil obter x = -2.

Uma outra opção seria começar multiplicando o numerador e o denominador da primeira fração por (-1), ficando assim com:

$\frac{(2x - 1)(-1)}{(-4)(-1)} = \frac{5}{4}$

$\frac{-2x + 1}{4} = \frac{5}{4}$

-2x + 1 = 5