Racionalização de denominador composto de "três parcelas"

por **Jesse Pessoa** » Sex Abr 01, 2011 21:59

Como racionalizar um denominador com três parcelas do tipo:
$\frac{1}{1+\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}}$
Confesso que até hoje só tive experiência com denominadores de uma $\frac{1}{\sqrt[n]{a}}$
, mulitiplicando o numerador e o denominador pelo próprio radical sqrt[n]{a}
Ou Com duas parcelas $\frac{1}{1+\sqrt[n]{b}}$ , multiplicando numerador e denomindaro pelo conjugado $1-\sqrt[n]{b}$
1 - Tentei por:
$\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$
2 - Tentei por:
$1-\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}$
Mas não obtive o mesmo resultado do gabarito.
Podem me ajudar.
Obrigado.
Jessé.

por **MarceloFantini** » Sex Abr 01, 2011 23:48

Você poderia postar o enunciado completo?

por **LuizAquino** » Sáb Abr 02, 2011 00:29

Jesse Pessoa escreveu:Como racionalizar um denominador com três parcelas do tipo:
$\frac{1}{1+\sqrt[n]{a}-\sqrt[n]{b}}$

Qual é o texto do exercício completo e qual é o gabarito apresentado?

Jesse Pessoa escreveu:Confesso que até hoje só tive experiência com denominadores de uma $\frac{1}{\sqrt[n]{a}}$
, mulitiplicando o numerador e o denominador pelo próprio radical $\sqrt[n]{a}$

Isso não é correto. O correto é multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt[n]{a^{n-1}}$ .
Exemplo:
$\frac{1}{\sqrt[5]{a}} = \frac{\sqrt[5]{a^4}}{\sqrt[5]{a}\sqrt[5]{a^4}} = \frac{\sqrt[5]{a^4}}{a}$

Jesse Pessoa escreveu:Ou Com duas parcelas $\frac{1}{1+\sqrt[n]{b}}$ , multiplicando numerador e denominador pelo conjugado $1-\sqrt[n]{b}$

Isso não é correto. O correto é multiplicar o numerador e o denominador por $s = \sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i\sqrt[n]{b^i}$ , sendo que teremos:
$\frac{1}{1+\sqrt[n]{b}}= \begin{cases} \frac{s}{1+b}\text{, se } n \text{ \'impar} \\ \frac{s}{1-b}\text{, se } n \text{ par} \end{cases}$

Exemplo:
(i) $\frac{1}{1+\sqrt[3]{b}} = \frac{1-\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}{(1+\sqrt[3]{b})(1-\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2})} = \frac{1-\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}{1+b}$

(ii) $\frac{1}{1+\sqrt[4]{b}} = \frac{1-\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{b^2}-\sqrt[4]{b^3}}{(1+\sqrt[4]{b})(1-\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{b^2}-\sqrt[4]{b^3})} = \frac{1-\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{b^2}-\sqrt[4]{b^3}}{1-b}$

Note que no fundo, a estratégia foi fazer aparecer o produto notável:
$(a+b)\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^ia^{n-1-i}b^i = \begin{cases} a^n+b^n \text{, se } n \text{ \'impar} \\ a^n-b^n \text{, se } n \text{ par} \end{cases}$

por **Jesse Pessoa** » Ter Abr 05, 2011 01:14

Fantini escreveu:Você poderia postar o enunciado completo?

...
Fantine, o enunciado apenas diz:
Racionalize:
$\frac{1}{1+\sqrt[2]{2}-\sqrt[2]{3}}$

por **LuizAquino** » Ter Abr 05, 2011 02:10

por **Jesse Pessoa** » Sex Abr 08, 2011 00:33

Mas, então eu só troco o sinal entre os radicais?
Obrigado.

por **LuizAquino** » Sex Abr 08, 2011 10:25

Jesse Pessoa escreveu:Mas, então eu só troco o sinal entre os radicais?

De modo geral, é claro que não! Basta ler com atenção a mensagem que eu havia enviado anteriormente para perceber isso.

Vejamos outro exemplo.

$\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}} = \frac{(1+\sqrt[3]{2})^2 + (1+\sqrt[3]{2})\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}^2}{(1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})\left[(1+\sqrt[3]{2})^2 + (1+\sqrt[3]{2})\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}^2\right]}$

$= \frac{1+2\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{(1+\sqrt[3]{2})^3-\sqrt[3]{3}^3}$

$= \frac{1+2\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}{3(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}$

$= \frac{(1+2\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})\left(\sqrt[3]{2}^2 - \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{4}^2\right)}{3(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})\left(\sqrt[3]{2}^2 - \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{4}^2\right)}$

$= \frac{6 + 3\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{12} + 2\sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{36}}{3\left(\sqrt[3]{2}^3 + \sqrt[3]{4}^3\right)}$

$= \frac{6 + 3\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{9} + 3\sqrt[3]{12} + 2\sqrt[3]{18} + \sqrt[3]{36}}{18}$

por **FilipeCaceres** » Dom Abr 10, 2011 18:38

Vou resumir o que o nosso amigo Luiz Aquino mostrou exaustivamente.

Devemos ter em mente que,
a^2-b^2=(a-b).(a+b)

Como já foi dito o objetivo é sempre formar um produto notável.
Vamos fazer a questão
$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Chamando,
$a=1+\sqrt{2}$
$b=\sqrt{3}$

Observe que já temos (a-b)

e só falta (a+b)

e por coencidência é o próprio conjudado, desta forma não é so trocar o sinal como já foi dito.

$\frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}.\frac{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})+\sqrt{3}}$ daqui em diante a solução é igual.

Vou tomar a liberdade e pegar o mesmo exemplo dado pelo Luiz.
$\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}$

Chamando,
$a=1+\sqrt[3]{2}$
$b=\sqrt[3]{3}}$

Observe que é raiz cúbica, desta forma devemos tentar formar a^3-b^3

.
Como já temos a-b

então o que nos falta é a^2+ab+b^2

Assim temos,
$\frac{1}{1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}} = \frac{1}{1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}.\frac{(1+\sqrt[3]{2})^2 + (1+\sqrt[3]{2})\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}^2}{(1+\sqrt[3]{2})^2 + (1+\sqrt[3]{2})\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}^2\right}$ daqui segue igual.

Espero ter contribuído um pouco.