Questão da UECE

por **Kelvin Brayan** » Dom Mar 27, 2011 13:26

Olá amigos, estou resolvendo algumas questões sobre funções, mas eu me deparei com esta questão abaixo que me deixou na dúvida :

(UECE) Seja f: R -> R a função tal que f(1) = 4 e f(x+1) = 4 f(x) para todo real. Nessas condições, f(10) é igual a ?

O que me deixou na dúvida foi justamente isso f(x+1) = 4 f(x), pois não sei calcular a f(10), se x=10 ou se x+1 será = 10.

Ajudem-me por favor !

Obrigado !

Resposta do gabarito : f(10) = 1024

por **LuizAquino** » Dom Mar 27, 2011 13:39

Dica

Considere a sequência com termo geral a_n=f(n)

.

Note que essa sequência será tal que $a_{n+1}=4a_n$ .

Pergunta: que tipo de sequência é formada quando cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por uma constante?

por **Kelvin Brayan** » Dom Mar 27, 2011 13:42

por **LuizAquino** » Dom Mar 27, 2011 13:48

Exato! Essa sequência forma uma p.g..

Aproveito para dizer-lhe que você deve rever o gabarito, pois o que você indicou não está correto.

por **Kelvin Brayan** » Dom Mar 27, 2011 13:52

Opa! mil desculpas a resposta é ${4}^{10}$ .

Muito Obrigado ! Vou tentar resolvê-la agora !

por **Kelvin Brayan** » Dom Mar 27, 2011 14:08

Luiz Aquino, veja se fiz corretamente:

Se ${a}_{n}$ = f(n) e ${a}_{n+1}= 4{a}_{n}$ então: q=4

f(10) = ${a}_{10}$ e ${a}_{10}= 4{a}_{9}$ temos:

${a}_{9}={a}_{1}*{4}^{8}= 4*{4}^{8}$ => ${a}_{9}= {4}^{9}$

Por fim : ${a}_{10}= 4*{4}^{9}$ = ${4}^{10}$ .

Certo? essa era a única maneira de resolver tal questão? porque nem aprendi direio PA E PG ainda no cursinho, mas lembro disso no ensino médio !

por **LuizAquino** » Dom Mar 27, 2011 14:35

A forma mais simples de resolver é aplicando os conceitos de p.g..

Uma outra forma de resolução, mais trabalhosa, seria desenvolver para alguns termos e tentar "enxergar" o padrão:
f(1)=4
f(2)=4f(1)=4^2
f(3)=4f(2)=4^3
f(4)=4f(3)=4^4
f(5)=4f(4)=4^5
(...)
f(10)=4f(9)=4^10

Note que de qualquer modo acaba aparecendo o conceito de p.g..