exercicio bem dificil preciso de uma maozinha

por **Fabricio dalla** » Ter Mar 15, 2011 15:21

calcule o termo independente de x no desenvolvimento de:

${(x+\frac{1}{x})}^{6}.{(x-\frac{1}{x})}^{6}$

aquele ponto entre os parenteses e sinal de multiplicação
e tbm o grande responsavel pela dificuldade da questão!!

OBS:caros voluntarios ou responsaveis pelo site caso consigam resolver isso prometo que ficarei um bom tempo sem perguntar a vcs kkkk!! desde ja agradeço!!

por **LuizAquino** » Ter Mar 15, 2011 18:46

Dicas
(i) Lembre-se da propriedade de potenciação: $(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ .

(ii) Lembre-se do produto notável: (a-b)(a+b)=a^2-b^2

.

(iii) Lembre-se do binômio de Newton: $(a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} a^{n-i}b^{i}$ .

por **Fabricio dalla** » Sáb Mar 19, 2011 18:45

Tá no desenvolvimento meu que provavelmente ta errado fico:

$({x+\frac{1}{x}})^{6}.({x-\frac{1}{x}})^{6}==> ({x})^{12}-({\frac{1}{x}})^{12}===> ({x})^{6}.({x})^{6}-({\frac{1}{x}})^{6}.({\frac{1}{x}})^{6}$

onde: $({x})^{6}-({\frac{1}{x}})^{6}=({x+\frac{1}{x}})^{3}.({x-\frac{1}{x}})^{3}$

tem-se: $({x})^{6}.({x+\frac{1}{x}})^{3}.({x-\frac{1}{x}})^{3}.({\frac{1}{x}})^{6}$ ===> $({{x}^{7}+{x}^{5}})^{3}.({\frac{1}{{x}^{5}}-\frac{1}{{x}^{7}}})^{3}$

ta, se ta certo ou nao morri aqui!. Dá uma luz ai LuizAquino ou qualquer outro voluntario

por **LuizAquino** » Sáb Mar 19, 2011 19:24

As dicas que dei são mais do que suficientes!

(i) Lembre-se da propriedade de potenciação: $(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ .

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{6}.{\left(x-\frac{1}{x}\right)}^{6} = \left[\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)\right]^6$

(ii) Lembre-se do produto notável: .

$\left[\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x-\frac{1}{x}\right)\right]^6 = \left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)^6$

(iii) Lembre-se do binômio de Newton: $(a+b)^n = \sum_{i=0}^{n} {n \choose i} a^{n-i}b^{i}$ .

$\left[x^2+\left(-\frac{1}{x^2}\right)\right]^6 = \sum_{i=0}^{6} {6 \choose i} \left(x^2\right)^{6-i}\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{i}$

Agora você tem que ser capaz de terminar a questão.

por **Pedro123** » Sáb Mar 19, 2011 19:39

Fabricio, faça o seguinte, lembre que se temos:

${A}^{n} . {B}^{n}$ , isso é igual a ${(A.B)}^{n}$ portanto :

${(x + \frac{1}{x})}^{6} . {(x - \frac{1}{x})}^{6} = {[(x + \frac{1}{x}). (x + \frac{1}{x})]}^{6} = ({x}^{2} - \frac{1}{{x}^{2}})^{6}$

agora utilizando as propriedades de Binômio de Newton:

${T}_{p + 1}= {{C}^{6}}_{p}. {{(x)}^{-2}}^{p} . {(x)}^{12 - 2p} . {(-1)}^{p} > {T}_{p + 1} = {{C}^{6}}_{p}.{(x)}^{12 - 4p}.{(-1)}^{p}$

fazendo ${(x)}^{12 - 4p} = {(x)}^{0}$ para encontrar o termo independente temos, desprezando as bases:

12- 4p = 0 > p = 3

agora na parte final :

${T}_{3 + 1} = {{C}^{6}}_{3} . {x}^{0} . {(-1)}^{3} {T}_{3 + 1} = 20 . -1 {T}_{3 + 1} = -20$

por **Fabricio dalla** » Sáb Mar 19, 2011 20:38

è LuizAquino concordo com vc, errar produto notavel é inadmissivel :/

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