Questão do ITA sobre conjuntos!

por **Abelardo** » Qui Mar 03, 2011 02:03

Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito. Sejam a,b e c conjuntos tais que n(a U b)= 8, n(a U c)= 9, n(b U c)= 10, n(a U b U c)= 11 e $n(a\cap b\cap c)$ . Então, n(a) + n(b) + n(c) é igual a:
a) 11
b) 14
c) 15
d) 18
e) 25

por **Elcioschin** » Qui Mar 03, 2011 14:49

Faltou o valor de A inter B inter C no enunciado

por **Abelardo** » Qui Mar 03, 2011 15:01

Abelardo escreveu:Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito. Sejam a,b e c conjuntos tais que n(a U b)= 8, n(a U c)= 9, n(b U c)= 10, n(a U b U c)= 11 e $n(a\cap b\cap c)$ = 2. Então, n(a) + n(b) + n(c) é igual a:
a) 11
b) 14
c) 15
d) 18
e) 25

por **Elcioschin** » Qui Mar 03, 2011 18:04

Sejam:

a, b, c = somente A, B, C
Somente A inter B = u
Somente B inter C = v
Somente C inter A = w

I) a + b + (u + v + w) + 2 = 8 -----> a + b + (u + v + w) = 6 ----> I

II) a + c + (u + v + w) + 2 = 9 -----> a + c + (u + v + w) = 7 ----> II

III) b + c + (u + v + w) + 2 = 10 -----> b + c + (u + v + w) = 8 ----> III

Somando as três equações ----> 2*(a + b + c) + 3*(u + v + w) = 21 ----> IV

(a + b + c) + (u + v + w) + 2 = 11 ----> (a + b + c) + (u + v + w) = 9 ----> (a + b + c) = 9 - (u + v + w) ----> V

V em IV ----> 2*[9 - (u + v + w)] + 3*(u + v + w) = 21 ----> 18 + (u + v + w) = 21 ----> u + v + w = 3

Substituindo em V ----> a + b + c = 9 - 3 ----> a + b + c = 6

n(a) + n(b) + n(c) = (a + b + c) + (u + v + w) + 2 ----> n(a) + n(b) + n(c) = 6 + 3 + 2 ---> n(a) + n(b) + n(c) = 11

por **Abelardo** » Sex Mar 04, 2011 00:36

Cara, a resposta é letra d, 18. Eu tentei, mas nada consegui.

por **LuizAquino** » Sex Mar 04, 2011 09:44

$n(a \cup b) = 8 \Rightarrow n(a) + n(b) - n(a\cap b) = 8$

$n(a \cup c) = 9 \Rightarrow n(a) + n(c) - n(a\cap c) = 9$

$n(b \cup c) = 10 \Rightarrow n(b) + n(c) - n(b\cap c) = 10$

$n(a \cap b \cap c) = 2$

Somando-se essas equações nós obtemos:

$n(a) + n(b) + n(c) + [n(a) + n(b) + n(c) - n(a\cap b) - n(a\cap c)$ $- n(b\cap c) + n(a\cap b \cap c)] = 29$

Mas, sabemos que:
$n(a \cup b \cup c) = 11 \Rightarrow$ $n(a) + n(b) + n(c) - n(a\cap b) - n(a\cap c) - n(b\cap c) + n(a\cap b \cap c) = 11$

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n(a) + n(b) + n(c) = 18