expressão

por **jose henrique** » Qua Fev 16, 2011 18:16

considere a expressão: $\frac{\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{3}-8}}{\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{3}+{x}^{2}+4x}}$
diga para quais valores de x é possível calcular essa expressão. Responda na forma de intervalos.
Simplifique a expressão de forma a obter uma expressão com um polinômio no numerador e um polinômio no denominador.
iguale a expressão dada à 2x e resolva a equação encontrada. para resolver essa equação você pode usar a expressão simplificada.

o primeiro item eu não consegui responder, pois a equação ${x}^{2}+2x+4$ não possui solução em R.
o segundo item a minha resposta deu $\frac{x+2}{x-1}$
e o terceiro item pedia para eu igualar o item anterior a 2x.
$\frac{x+2}{x-1}$ =2x deu S={-1/2, 2}

alguém poderia me ajudar nesta questão.

por **Renato_RJ** » Qua Fev 16, 2011 20:03

Mas a questão te limita no domínio dos inteiros ??

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 16:31

o enunciado da questão está do mesmo jeito que eu descrevi na postagem, e agora com a sua interpolação ficou a dúvida.

por **DanielFerreira** » Qui Fev 17, 2011 17:49

José,
poderia confirmar x³ + x² + 4x ?!
não é x³ + 2x² + 4x????

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 17:53

correto

por **DanielFerreira** » Qui Fev 17, 2011 18:04

então...
x² - 4 = (x + 2)(x - 2)

x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4)

x² - x = x(x - 1)

x³ + 2x² + 4x = x(x² + 2x + 4)

$\frac{\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}}{\frac{x(x - 1)}{x(x^2 + 2x + 4)}} =$

$\frac{\frac{(x + 2)}{(x^2 + 2x + 4)}}{\frac{(x - 1)}{(x^2 + 2x + 4)}} =$

$\frac{x + 2}{x^2 + 2x + 4} . {\frac{x^2 + 2x + 4}{x - 1} =$

$\frac{x + 2}{x - 1}$

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 18:25

no enunciado da questão pede para que eu diga quais o valores de x é possível calcular essa expressão. A resposta tem que ser em intervalo.
eu poderia responder assim.
S={ R-1}

por **DanielFerreira** » Qui Fev 17, 2011 18:37

Não tem nem um sinalzinho? :-D

complicado!
deve ser isso R - {1} mesmo então.

por **jose henrique** » Qui Fev 17, 2011 19:46

isso aí, ficaria correta assim a resposta em intervalos? S=R-{1}

por **Renato_RJ** » Sex Fev 25, 2011 02:23

José, acho que a tua resposta seria os seguintes intervalos:

$(- \infty, -2) \cup (1, + \infty)$

Pois se usar x = -2 irá fazer o numerador ir para o zero, e se usar x = 1 o denominador irá a zero.... Detalhe, intervalo aberto...

Acho que é essa a resposta, caso venha a saber, poste pois fiquei curioso se acertei...

por **LuizAquino** » Sex Fev 25, 2011 09:23

jose henrique escreveu:Considere a expressão: $\frac{\frac{{x}^{2}-4}{{x}^{3}-8}}{\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{3}+2{x}^{2}+4x}}$
Diga para quais valores de x é possível calcular essa expressão. Responda na forma de intervalos.

Primeiro, eu vou considerar que x pode ser apenas números reais. Se x também fosse números complexos, então a reposta seria outra.

Você deve analisar quais são os valores antes de fazer qualquer simplificação.

No caso, nós temos uma divisão de frações. O que não pode ser zero são os denominadores e o numerador x^2-x

. Portanto:
$x^2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \textrm{ e } x\neq 1$

$x^3-8\neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$x^3+2x^2+4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ . Aqui, estamos considerando apenas as soluções reais.

Portanto, $x \in (-\infty, \, 0) \cup (0, \, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)$

E agora, você deve se perguntar: por que devo analisar antes de fazer qualquer simplificação?

Vou dar um exemplo. Considere a expressão: $\frac{x^2-4}{x-2}$ . Se você primeiro simplificar para depois analisar, você teria que $\frac{x^2-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2$ , e como não há restrições na expressão x+2 você diria que x pode ser qualquer número. Obviamente, isso está errado! O correto é que x pode ser qualquer número real exceto o 2. O erro aconteceu quando você simplificou o termo (x-2), o que só pode ser feito se ele não for zero, portanto se x não for 2.