Equação Diferencial.

por **Higor** » Seg Fev 21, 2011 13:12

Boa Tarde Galera.

Estou com uma ED simples mas estou com uma duvida.

$\frac{dy}{dx}$ = $\frac{y}{x}$

no caso troco o dx de lugar com o y e temos:

$\frac{dy}{y}$ = $\frac{dx}{x}$

passo a integral dos dois lados

$\int_{}^{} \frac{dy}{y} = \int_{}^{} \frac{dx}{x}$

ai ficara

ln (y) = ln (x) + C

ai passo o e dos dois lados:

e elevado a ln y = e elevado a ln de x + o C

nesse caso ficaria

y = x + C

como C é constante posso substituir por A

y= x + A

só que ai que vem minha duvida, a reposta correta
é y= x.A

alguem pode me explicar o porque ??? obrigado

por **Molina** » Seg Fev 21, 2011 13:53

Boa tarde, Higor.

Você fez certo até aqui:

Higor escreveu:e elevado a ln y = e elevado a ln de x + o C

nesse caso ficaria

Veja a continuação:

$e^{lny} = e^{lnx + C}$

Pela propriedade de exponencial, temos que:

$z^a*z^b=z^{a+b}$

Foi isso que você se confundiu no lado direito. Com isso:

$y = e^{ln x} * e^{C}$

$y = x * e^{C}$

Tomando $e^{C}=A$ concluimos que:

y = x * A

por **Higor** » Seg Fev 21, 2011 14:25

Molina muito obrigado pela ajuda.

Meu professor disse da seguinte maneira:

antes de fazer como voce fez :

e^ln y = e^ln(x+C)

ele sugeriu que

fosse feito assim:

e^ln y = e^ln x + ln e^C

ai como vc disse e ele tambem

multiplicação de base igual soma os expoentes e repete a base
e nesse caso
foi multiplicado os expoentes

ai chegou nessa resposta.

Essa passagem que ele faz antes chamando o C de ln e^C esta correto ???

por **Molina** » Seg Fev 21, 2011 14:39

Você está dizendo que daqui:

ln (y) = ln (x) + C

ele veio para cá:

$e^{ln (y)} = e^{ln (x)} + e^{C}$

???

Se for isso, essa passagem está errada, pois para usar a propriedade exponencial, precisa haver uma multiplicação (e não uma soma, como há ali). Desta forma como está colocado aqui em cima, vamos chegar no resultado que você chegou primeiramente, onde o A está somando o x, e não multiplicando, como é a resposta correta.

Percebeu a diferença? O correto é elevar os dois lados da igualdade a base e e desta forma, pela propriedade exponencial o lado direito fica com uma soma de expoentes que posteriormente abrimos na multiplicação das bases:

ln (y) = ln (x) + C