Grupos e Subgrupos

por **Renato_RJ** » Sex Jan 21, 2011 13:18

Olá amigos, estou com um problema que eu não consigo resolver (talvez eu não tenha entendido muito bem o problema), vejam:

Verifique se A ou B é subgrupo do grupo multiplicativo $\mathbb{Q}^*$ :

$A = \{ x \in \mathbb{Q} \, \mid x \textgreater 0 \}$

$B = \{ \frac{1 + 2 \cdot m}{1 + 2 \cdot n} \mid m,n \in \mathbb{Z} \}$

Eu acho que somente A é subgrupo, mas gostaria da opinião de vocês, estou certo ?

Abraços,
Renato.

por **Elcioschin** » Sex Jan 21, 2011 14:10

Conjunto Q*

Q = Conjunto dos números RACIONAIS
* = diferentes de zero

Exemplos de números de Q* ----> - 3 ; - 1/3 ; 1; 5/19 , etc

Conjunto A ----> Q (racional) > 0 ----> Exemplos: 1 ; 5/19 etc.

Logo A é subgrupo de Q*

Conjunto B = (1 + 2m)/(1 + 2n) com m, n pertencente a Z ( inteiros quaisquer, positivos negativos ou nulos)

Para m inteiro (1 + 2m) é sempre inteiro diferente de zero. Idem para (1 + 2n)

Logo, B é a razão ente dois inteiros (positivos ou negativos) e diferentes de zero ----> B é racional

B é subgrupo de Q*

por **Renato_RJ** » Sex Jan 21, 2011 14:39

Então B também é subgrupo do grupo multiplicativo $\mathbb{Q}$ ???

Obrigado pela informação...

Abs,
Renato.

por **LuizAquino** » Sex Jan 21, 2011 15:30

Olá Pessoal,

Primeiro, vamos revisar alguns conceitos.

Seja G um conjunto e * uma operação binária definida sobre G, o par ordenado (G,*) é um grupo se são satisfeitas as seguintes propriedades:

Associatividade: Quaisquer elementos a,b,c pertencentes a G, (a * b) * c = a * (b * c)
Existência do elemento neutro: Existe um elemento e em G tal que e * a = a * e = a, para todo a pertencente a G.
Existência do elemento simétrico: Para qualquer elemento a em G, existe outro elemento a' em G, tal que, a * a' = a' * a = e, onde e é o elemento neutro previamente mencionado.

Um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação.

No exercício, temos o grupo $(\mathbb{Q}, *)$ , onde * é a operação de multiplicação. Atenção: Não confundir isso com o conjunto $\mathbb{Q}^*$ .

Agora, para verificar se A e B são subgrupos de $(\mathbb{Q}, *)$ , precisamos mostrar que A e B são subconjuntos de $\mathbb{Q}$ e além disso que (A, *)

e

são grupos. Nesse exercício em particular tanto A e B são subgrupos, pois atendem a essas condições.

Em particular, note que o conjunto $C = \{ x\in\mathbb{Q} | x\geq 0 \}$ não é subgrupo de $(\mathbb{Q}, *)$ , apesar de C ser um subconjunto de $\mathbb{Q}$ . Isso porque nesse caso (C, *)

não é grupo, pois há um elemento no conjunto que não possui o simétrico da operação dada (note que não há inverso multiplicativo de 0).

por **Renato_RJ** » Sex Jan 21, 2011 16:39

Muito obrigado Luiz !!!

Sua explicação foi muito esclarecedora e eliminou por vez algumas dúvidas bobas que eu estava tendo ao estudar a disciplina.... :y:

Grato, muito grato.
Renato.

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