Provar se é par

[stalone]

Este problema consiste em que dado um conjunto de tamanho impar contendo os números { 1 , 2, 3, 4 , .... , 2n+1} , obtemos um conjunto { N1, N2 ,N3 , .....,N 2n+1}
com os mesmos elementos só que não necessáriamente na mesma ordem do primeiro conjunto como { 7 , 2 , 6 , 3 , 1 , 5, 4} , do conjunto { 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7}

Prove que a expressão :

(1 - N1).(2- N2) . (3 - N3) ...... . (2n+1 - N 2n+1)

resulta sempre em um número par , seja qual for a ordem dos elementos do conjunto { N1, N2 ,N3 , .....,N 2n+1}

[stalone]

Como exemplo ilustrativo , vamos pegar o seguinte teste:

de { 1 ,2 ,3 ,4,5} tenho como conjunto escolhido o { 3, 4 , 1 ,5 ,2}

logo a expressao fica :

( 1 - 3 ) . ( 2 - 4) . (3 - 1).(4 - 5).(5 -2) = (-2) .(-2).(2).(-1).(3) = - 24

que é par , logo prova que não importa o tamanho do conjunto base e nem a sequencia ,
sempre teremos um número par como resultado.

.

[al-mahed]

É simples, existem M elementos pares em cada conjunto, e M+1 elementos ímpares, a única forma de a diferença ser ímpar é par menos ímpar (ou ímpar menos par). Se a paridade dos números subtraídos em uma das diferenças que seja for par, todo o produto será par, assim obviamente que temos que alinhar os pares com os ímpares, porém existe um número ímpar a mais em cada conjunto, logo sobrarão dois ímpares após o alinhamento, e essa diferença será um par que entrará no produto. Logo o produto será sempre par.

[PedroSantos]

Se bem compreendi, dado um conjunto sequêncialmente ordenado de números naturais de tamanho impar, constroi-se outro conjunto constituido pelos mesmos elementos mas com uma ordenação aleatória.Assim se C={1,2,3,4,5}, pode-se construir S={5,2,4,3,1}. Agora subtrai-se a cada termo de ordem n de C um termo de S da mesma ordem n.
Teremos:

(1-5).(2-2).(3-4).(4-3).(5-1) = (-4).0.(-1).1.4 = 0

A não ser que me tenha escapado alguma coisa, parece que existe uma exepção.

[MarceloFantini]

0 é par.

[stalone]

Está corretíssimo al-mahed , parabéns.