[Análise Combinatória] Exercício

por **Pessoa Estranha** » Ter Dez 17, 2013 22:35

"SE A E B SÃO CONJUNTOS E A QUANTIDADE DE ELEMENTOS EM A É n E A EM B É r, QUANTAS FUNÇÕES f : A ----> B, INJETORAS EXISTEM ?
( $1 \leq n \leq r$ ) "

Por favor, não quero a resolução e nem mesmo decorar fórmulas. Quero entender a questão. Quando tentei resolver, deu errado. Por favor, ajudem....

Obrigada!

por **e8group** » Qua Dez 18, 2013 17:59

Veja um exemplo para r = 4

e

. Considere

$A = \{x_1,x_2,x_3 \} ,B =\{y_1,y_2,y_3,y_4 \}$ e seja

o conjunto das aplicações $f : A \mapsto B$ injetoras .Notando que card(f(A)) = 3

,poderíamos pensar em quantos subconjuntos (distintos) de

possui cardinalidade 3 . Nota :

Para cada subconjunto B_i

de B com 3 elementos é possível obter o mesmo número de aplicações injetivas tais que f(A) = B_i

.

Obs.:

Em relação as apliçaões f_i

cuja o conjunto imagem é B_j

, o que difere cada aplicação é a regra de associação . E a cada par de aplicações cujos conjuntos imagens são respect. $B_j , B_k ; j\neq k$ o que difere estas funções são os conjuntos imagens .

Exemplo :

Seja $B_1 = \{y_1,y_2,y_3\} \subset B$ . É possível definir

aplicações injetivas (distintas) . Ora , se $f_i \in C$ podemos ter f_1(x_1) = y_1

ou

ou ainda

.Assim , basta por f_j (x_i) = y_j

(j=1,2,3) .

Mas ainda há outros subconjuntos de B ,

$B_2 = \{y_1,y_2,y_4 \}$

$B_3 = \{y_1,y_3,y_4 \}$

$B_4 = \{y_2,y_3,y_4 \}$ .

(Note que o número de subconjuntos com cardinalidade = 3 pode ser calculado por $\binom{4}{3}$ ).

Logo , ao todo é possível definir 12 aplicações $f : A \mapsto B$ injetivas (distintas) , em linguagem de conjunto card(C) = 12

.

O que acha ? Caso esteja correto ,dá para generalizar utilizando o raciocínio acima ?

por **tenebroso** » Qua Dez 18, 2013 18:34

ALGUÉM PODERIA DAR UMA AJUDINHA LÁ EM MINHAS QUESTÕES...? EHHEHEHEHE..

por **e8group** » Qua Dez 18, 2013 20:51

Não está certo .

Por exemplo ,considere $A = \{1,2,3\} , B =\{1,2,3,4\}$ . E defina $f : A \mapsto B$ injetora . Segue-se que f(1)

pode tomar 4 valores , f(2)

pode tomar 3 valores e f(3)

2 valores . Assim o número total de funções injetivas é

$4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ .

Justificativa .

Defina $f_i : A \mapsto B$ injetora .

Como vimos f_i(1)

pode tomar 4 valores ,suponha f_i(1) = m_1

.Então

pode tomar um dos 4 valores exceto m ,suponha $f_i(2) = m_2 \neq m_1$ e f_i(3)

pode tomar um dos 4 valores exceto m_1 ,m_2

, suponha

. Estas palavras acima se resume em :

$f_i(1) =m_1 \in \{1,2,3,4 \} , f_i(2) = m_2 \in \{1,2,3,4 \}\setminus\{m_1\} , f_i(3) \in \{1,2,3,4 \}\setminus\{m_1,m_2\}$ .

Imagine 3 segmentos de retas verticais L_1,L_2,L_3

.Marque 4 pontos sobre L_1 , 3 pontos sobre a reta L_2 e 2 sobre a L_3 (em que estes pontos podem ser visto com os valores que m_i podem assumir ,escolhendo um na primeira reta ,na segunda reta terá 3 possibilidades todas distintas da escolha anterior e assim por diante )

Partindo do primeiro ponto de L_1

e escolhendo um caminho dentre os

que há para chegar em um dos pontos de L_2

.Chegando lá , podemos escolher um caminho p/ chegar em um dos pontos de L_3

dentre os 3 disponíveis . Para cada procedimento completo nos fornecerá uma aplicação injetiva .Só aqui já conseguimos , 2 + 2 + 2 = 6

aplicações injetoras .

Partindo do segundo ponto de L_1

e fazendo o mesmo acima obteremos 2 + 2 + 2 = 6

aplicações injetoras e assim por diante podemos obter no total

aplicações injetoras .

Acho que agora está certo .

por **Pessoa Estranha** » Qua Dez 18, 2013 21:16

Eu ia questionar exatamente isto. Fiz as contas e, realmente, resultou em 24 e não em 12. Bem, com relação ao caso geral, n e m, vou pensar um pouco mais no que você escreveu e tentar fixar melhor a ideia. Muito obrigada pela ajuda! :y:

por **e8group** » Qua Dez 18, 2013 22:47

Anexei uma imagem neste tópico explicando este processo .

viewtopic.php?p=44888#p44888

por **tenebroso** » Qua Dez 18, 2013 22:54

O lucro obtido por um comerciante na venda de determinado produto é dado , em reais, pela função L(x)= -1/10x²+ 15x, sendo x o número de unidades vendidas e o menor que x menor que 150.
Se L(m) é o lucro máximo que comerciante tem condições de obter, pode-se afirmar que log( l(m)/3m) é igual a:

a) 1+2log2
b) 2log2+log5
c) 2-log5 QUEM CONSEGUE RESOLVER? EU NÃO CONSEGUI, ALGUÉM CONSEGUE?
d) 1-2log2
e) 1-2log5

por **Pessoa Estranha** » Qui Dez 19, 2013 08:54

Olá....

Então, acho que podemos afirmar algo sobre o caso geral. Temos que, se A tem n elementos e B tem r, então, para f : A ----> B, podemos ter o seguinte raciocínio: seja x1 um elemento de A; x1 tem r elementos de B disponíveis para ser sua imagem. Mas, uma vez escolhido um r1 de B, como f deve ser injetora, outro elemento de A, um x2, já não tem mais r opções de imagem e, sim r-1. E isto se repete sucessivamente. Se aplicarmos este raciocínio, teríamos, para um caso geral, r.(r-1).(r-2). ... .(r-(n-1)). Bem, fazendo manipulações algébricas, chega-se à fórmula do Arranjo Ar,n = $\frac{r!}{(r-n)!}$ .

Fórmulas, fórmulas, fórmulas e mais fórmulas !!!!

Quando fiz este exercício pela primeira vez, consegui chegar até r.(r-1).(r-2). ... .(r-(n-1)) (e a resposta, é claro, não estava assim), mas nem passou pelo meu raciocínio que era, na verdade, a fórmula do arranjo.

Bem, muito obrigada pela sua ajuda. Consegui fixar melhor o raciocínio. Valeu! :-D

por **Pessoa Estranha** » Qui Dez 19, 2013 09:00

Tenebroso, você tentou resolver o seu exercício ou tem alguma ideia ? Se, até amanhã, ninguém te ajudar, tentarei fazer. Estou olhando os seus exercícios. Aquele de combinatória está bem esquisito, parece que falta informação. Até mais.