[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

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[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

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[Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 11:46

Olá, sou novo aqui no Fórum e tenho uma questão da CEFET-PR que encontrei em uma prova que fiz e que não consigo resolver. Gostaria de pedir a ajuda de vocês.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Os valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x³ +px² + qx + 2 = 0, são respectivamente: |
|
a. 2 e 2
b. -1e 0
c. 1 e -1
d. 1/2 e 2
e. 1/2 e 0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Pensei em colocar o x em evidência e resolver a equação do segundo grau que aparece, mas não da certo. Também tentei usar as relações de Girard.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:35

Lembre-se que se i é raíz, então -i é raíz também. Substitua ambas e resolva o sistema.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:41

Tentei substituir mas não consegui.
Poderia mostrar como faço?
E gostaria de saber se existe outro jeito de responder, pois ainda não vi equações de terceiro grau, logo penso que tenha algum jeito de resolver esse exercício com equações de segundo grau ou algo do tipo.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:47

Substituindo a primeira:

2(i)^3 +p(i)^2 +qi +2 = -p +qi +2-2i=0.

Substituindo a segunda:

2(-i)^3 + p(-i)^2 +q(-i) +2 = -p -qi +2 +2i=0.

Agora somando as duas temos -2p +4 = 0 e p=2. Substitua de volta em alguma delas e encontre q.

O único fato que você precisava saber é que raízes complexas aparecem aos pares: se um número complexo é raíz, seu conjugado também é.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:50

Entendi. Muito obrigado.
Só uma coisa. Sendo uma equação do terceiro grau, ela não deveria ter três raízes?
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 13:52

Ela tem mais uma raíz real, mas não é necessário saber qual é.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 13:53

Ok.
Teria algum jeito de fazer essa questão colocando o "x" em evidência?
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Dom Set 23, 2012 14:00

Não, pois zero não é raíz. Além de tudo, para fatorar e encontrar p e q de outra forma você já deveria conhecer todas as raízes, e não dá pra saber qual é a outra raíz real sem saber os coeficientes.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Set 23, 2012 14:01

Ok. Obrigado. Acho que meu professor errou a mão então, pois ele não havia explicado que quando i é raiz, seu conjugado também é.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Nov 11, 2012 11:17

Nessa questão, quando chego em:

-2i - p + qi +2 = 0 -2i + qi - p + 2 = 0 i (-2 + q) - p + 2 = 0

Posso falar que

i (-2 + q)= 0

é a parte imaginária e que

-p + 2 = 0

é a parte real e igualar as duas a zero e depois achar os valores de p e q, da seguinte forma?



Att.,
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MrJuniorFerr » Dom Nov 11, 2012 12:26

Eu nunca estudei números complexos, mas eu não quero ficar com uma dúvida...
Marcelo, como você fez isso?

MarceloFantini escreveu:Substituindo a primeira:
2(i)^3 +p(i)^2 +qi +2 = -p +qi +2-2i=0

Substituindo a segunda:

2(-i)^3 + p(-i)^2 +q(-i) +2 = -p -qi +2 +2i=0.


Não entendi como foi feito as substituições,os expoentes sumiram.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Dom Nov 11, 2012 12:34

O que ele fez foi usar as propriedades dos número complexos.

(i)^2 = -1 (i)^3 = -i (i)^4 = 1
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Seg Nov 12, 2012 19:18

Alguém?
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor MarceloFantini » Seg Nov 12, 2012 19:22

Pedro, acredito que pode sim. Havia me esquecido desta possibilidade.
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Re: [Equação do 3º grau] Questão da CEFET-PR

Mensagempor PedroCunha » Seg Nov 12, 2012 20:43

Que ótimo, :D! Facilita muito.

Obrigado Marcelo.
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