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[Cálculo III] - Teorema de Stokes

[Cálculo III] - Teorema de Stokes

Mensagempor Feliperpr » Sáb Abr 21, 2012 16:08

Calcule:
\oint_{}^{} x dx + (x+y) dy + (x+y+z) dz, onde C é a curva das equações paramétricas x = a sen (t) ; y = a cos (t); z = a (sen (t) + cos (t), com z maior igual a 0 e menor igual a 2 pi!

Não consegui determinar o parâmetro 'a' e acabei caindo em integral dupla de -y+x+1 dx dy sem conseguir determinar os limites de integração!
Alguém sabe?
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Re: [Cálculo III] - Teorema de Stokes

Mensagempor Russman » Sáb Abr 21, 2012 17:50

Feliperpr escreveu:Calcule:
\oint_{}^{} x dx + (x+y) dy + (x+y+z) dz, onde C é a curva das equações paramétricas x = a sen (t) ; y = a cos (t); z = a (sen (t) + cos (t), com z maior igual a 0 e menor igual a 2 pi!

Não consegui determinar o parâmetro 'a' e acabei caindo em integral dupla de -y+x+1 dx dy sem conseguir determinar os limites de integração!
Alguém sabe?


Para tanto é necessário que você faça com que a integral seja efetuada ao longo dos pontos da curva, isto é, substitua as variáveis x,y e z por suas parametrizações!
Desta forma teremos uma integral dependente unicamente do parametro t que, por isso, pode ser calculada. Veja que

\oint_{}^{} x dx + (x+y) dy + (x+y+z) dz = \oint_{}^{}{a}^{2}(\frac{5}{2}cos(2t) - \frac{1}{2}) dt

utilizando
x = a.sin(t)\rightarrow dx = a.cos(t) dt
y = a.cos(t) \rightarrow dy = -a.sin(t) dt
z = x+y \rightarrow dz = dx + dy \rightarrow a(cos(t) - sin(t)) dt

e as identidades trigonométricas {sin(t)}^{2} = \frac{1}{2}(1 - cos(2t)) e {cos(t)}^{2}-{sin(t)}^{2}=cos(2t).

Agora temos de identificar os limites de integração. Na questão não é o t que varia de 0 a 2pi ?
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Re: [Cálculo III] - Teorema de Stokes

Mensagempor Russman » Sáb Abr 21, 2012 18:51

Se t varia de 0 a 2pi, então temos

\int_{0}^{2\pi} \frac{{a}^{2}}{2}(5cos(2t) -1) =\frac{{a}^{2}}{2}(\frac{5}{2}sin(2t) - t)[t=0,t=2\pi
] =-\pi{a}^{2}

Veja que esse processo não é o sugerido pelo Teorema de Stokes! Para tanto é necessário identificar o campo vetorial e a superfície de integração. Fazendo isto você obtem o mesmo resultado. Eu fiz aqui. Se quiser posso postar.
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Re: [Cálculo III] - Teorema de Stokes

Mensagempor Feliperpr » Sáb Abr 21, 2012 18:54

Nossa cara, muito obrigado de verdade! :)
Se você puder postar, eu agradeço! Mas já me ajudou muito mesmo! ;)
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Re: [Cálculo III] - Teorema de Stokes

Mensagempor Russman » Sáb Abr 21, 2012 19:14

O Teorema de Stokes afirma que

I = {\oint_{}^{}}_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\overrightarrow{r} = {\int_{}^{}\int_{}^{}}_{S} \bigtriangledown \times \overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n} dS

que ainda pode ser escrito como

I = {\int_{}^{}\int_{}^{}}_{R} \bigtriangledown \times \overrightarrow{F}\cdot(\pm\bigtriangledown \cdot G ) dR.

Pela integral original vemos que
\overrightarrow{F} = x \widehat{i} + (x+y) \widehat{j}+ (x+y+z)\widehat{k} \Rightarrow \bigtriangledown \times \overrightarrow{F}=\widehat{i}-\widehat{j}+\widehat{k}
G = z - x - y \Rightarrow \bigtriangledown \cdot G = -\widehat{i}-\widehat{j}+\widehat{k}

Como convencionamos orientação positiva para fora da superfície de integração usaremos\bigtriangledown \cdot G =-( -\widehat{i}-\widehat{j}+\widehat{k}). Assim,

I = {\int_{}^{}\int_{}^{}}_{R} \bigtriangledown \times \overrightarrow{F}\cdot(-\bigtriangledown \cdot G ) dR = {\int_{}^{}\int_{}^{}}_{R} (-1) dR = -R = -\pi{a}^{2}.

(:
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Re: [Cálculo III] - Teorema de Stokes

Mensagempor Feliperpr » Sáb Abr 21, 2012 19:33

Não tenho nem como te agradecer! Muito obrigado mesmo! ;)
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Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
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isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: