[Derivadas] Problema com prova: f par --> f' ímpar

por **Imscatman** » Qui Nov 17, 2011 14:04

Olá!

Tenho duas dúvidas com a prova de f(x) = f(-x)

implica

(isto é, que se f é par, então sua derivada f' é ímpar).

Lembrando que:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

A prova começa assim:

$f'(-x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}$

Mas aqui eu já tenho a primeira dúvida: se em f'(x)

o

é na verdade algo como ${x}_{0}-x$ , como eu posso fazer f'(-x)

substituindo

por

na expressão original, mas sem tocar no

? Parece-me que

passaria a ser ${x}_{0}+x$ , mas então deixaria de ser

.

Engolindo isso, a prova continua. Terei uma segunda dúvida. Continuando, há esses passos:

$f'(-x)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f[-(x-h)]-f(-x)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x-h)-f(x)}{h}$

Aqui ok: como a função é par, os f(-a)

ficaram

acima. E a seguir introduz-se um sinal de menos dentro e fora do limite. Ok também:

$=-\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}$

E nesse ponto toma-se $-h = \Delta x$ e faz-se:

$=-\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Isso é -f'(x)

, concluindo a prova. Mas - segunda dúvida - me incomoda que, no símbolo de limite, a substituição seja $h = \Delta x$ em vez de $-h = \Delta x$ . Isso não deveria fazer diferença? Não ficaria $-\lim_{-\Delta x\rightarrow0}$ ali?

Agradeço a quem puder me ajudar.

P. S.: tirei essa demonstração do livro (e-book) de respostas do Cálculo vol. 6 (James Stewart).

Atualizado: já posso ver que tanto faz colocar $\Delta x$ ou $-\Delta x$ no limite, porque se um tende a zero, o outro também. Essa é a explicação da segunda dúvida, certo? A primeira dúvida permanece. Pensando aqui...

por **LuizAquino** » Sex Nov 18, 2011 21:44

Imscatman escreveu:(...)
A prova começa assim:

$f'(-x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}$

Mas aqui eu já tenho a primeira dúvida: se em f'(x) o h é na verdade algo como ${x}_{0}-x$ , como eu posso fazer f'(-x) substituindo x por -x na expressão original, mas sem tocar no h? Parece-me que h passaria a ser ${x}_{0}+x$ , mas então deixaria de ser h.
(...)

Você já sabe que uma forma de definir $f^\prime(x)$ é :

$f^\prime(x) = \lim_{u\to x}\frac{f(u)-f(x)}{u-x}$

Note que x representa qualquer valor no domínio de f. Suponha então que há um número negativo nesse domínio, por exemplo o valor -a.

A expressão anterior para x=-a teria o formato:

$f^\prime(-a) = \lim_{u\to -a}\frac{f(u)-f(-a)}{u-(-a)}$

Faça então a mudança de variável h = u - (-a)

(que é o mesmo que h = u + a

). Note que quando $u\to -a$ , temos que $h\to 0$ . Sendo assim, podemos reescrever a expressão anterior como:

$f^\prime(-a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(-a+h) - f(-a)}{h}$

Agora siga um raciocínio semelhante considerando que o número negativo no domínio seja -x.

Imscatman escreveu:(...)
$=-\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x-h)-f(x)}{-h}$

E nesse ponto toma-se $-h = \Delta x$ e faz-se:

$=-\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Isso é -f'(x), concluindo a prova. Mas - segunda dúvida - me incomoda que, no símbolo de limite, a substituição seja $h = \Delta x$ em vez de $-h = \Delta x$ . Isso não deveria fazer diferença? Não ficaria $-\lim_{-\Delta x\rightarrow0}$ ali?
(...)

Imscatman escreveu:Atualizado: já posso ver que tanto faz colocar $\Delta x$ ou $-\Delta x$ no limite, porque se um tende a zero, o outro também. Essa é a explicação da segunda dúvida, certo?

Ao fazer a substituição $-h = \Delta x$ , note que quando $h\to 0$ , temos que $\Delta x \to 0$ . Por isso não há problema algum escrever que:

$-\lim_{h\to 0}\frac{f(x-h)-f(x)}{-h} = -\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$