[Derivadas] Problema com prova: f par --> f' ímpar

[Imscatman]

Olá!

Tenho duas dúvidas com a prova de implica (isto é, que se f é par, então sua derivada f' é ímpar).

Lembrando que:



A prova começa assim:



Mas aqui eu já tenho a primeira dúvida: se em o é na verdade algo como , como eu posso fazer substituindo por na expressão original, mas sem tocar no ? Parece-me que passaria a ser , mas então deixaria de ser .

Engolindo isso, a prova continua. Terei uma segunda dúvida. Continuando, há esses passos:



Aqui ok: como a função é par, os ficaram acima. E a seguir introduz-se um sinal de menos dentro e fora do limite. Ok também:



E nesse ponto toma-se e faz-se:



Isso é , concluindo a prova. Mas - segunda dúvida - me incomoda que, no símbolo de limite, a substituição seja em vez de . Isso não deveria fazer diferença? Não ficaria ali?

Agradeço a quem puder me ajudar.

P. S.: tirei essa demonstração do livro (e-book) de respostas do Cálculo vol. 6 (James Stewart).

Atualizado: já posso ver que tanto faz colocar ou no limite, porque se um tende a zero, o outro também. Essa é a explicação da segunda dúvida, certo? A primeira dúvida permanece. Pensando aqui...

[LuizAquino]

(...)
A prova começa assim:



Mas aqui eu já tenho a primeira dúvida: se em f'(x) o h é na verdade algo como , como eu posso fazer f'(-x) substituindo x por -x na expressão original, mas sem tocar no h? Parece-me que h passaria a ser , mas então deixaria de ser h.
(...)

Você já sabe que uma forma de definir é :



Note que x representa qualquer valor no domínio de f. Suponha então que há um número negativo nesse domínio, por exemplo o valor -a.

A expressão anterior para x=-a teria o formato:



Faça então a mudança de variável (que é o mesmo que ). Note que quando , temos que . Sendo assim, podemos reescrever a expressão anterior como:



Agora siga um raciocínio semelhante considerando que o número negativo no domínio seja -x.

(...)


E nesse ponto toma-se e faz-se:



Isso é -f'(x), concluindo a prova. Mas - segunda dúvida - me incomoda que, no símbolo de limite, a substituição seja em vez de . Isso não deveria fazer diferença? Não ficaria ali?
(...)

Atualizado: já posso ver que tanto faz colocar ou no limite, porque se um tende a zero, o outro também. Essa é a explicação da segunda dúvida, certo?

Ao fazer a substituição , note que quando , temos que . Por isso não há problema algum escrever que:

[Imscatman]

Muito obrigado outra vez, professor! Tudo encaixa.