Limite com radicais

por **valeuleo** » Qui Mar 31, 2011 08:46

Já tentei usar todas as regras demonstradas pelo professor mas não estou conseguindo chegar ao fim deste problema. Alguém pode me ajudar? Grato

$\lim_{x\to1} \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[]{x} - 3} {x - 1}$

O método que o Prof. quer que usemos é o de mudança de variável, onde cálculamos o m.m.c dos índices dos radicais.

por **LuizAquino** » Qui Mar 31, 2011 10:44

Fazendo a substituição $u^{12}=x$ , temos que:

$\lim_{x\to1} \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[]{x} - 3} {x - 1} \Rightarrow \lim_{u \to 1} \frac{u^6 + u^4 + u^3 - 3} {u^{12} - 1}$

Provavelmente, a sua dificuldade está em realizar a divisão entre os polinômios. Recomendo que estude o assunto [1, 2].

Nesse caso, a divisão de

por u-1 resulta em quociente u^5+u^4+2u^3+3u^2+3u+3

e resto 0. Ou seja, temos que:

u^6 + u^4 + u^3 - 3 = (u^5+u^4+2u^3+3u^2+3u+3)(u-1) + 0

Agora, tente terminar o exercício.

Referência
[1] Divisão de polinômios - Brasil Escola - http://www.brasilescola.com/matematica/ ... nomios.htm
[2] Briot Ruffini - http://www.youtube.com/watch?v=yv5ju6Q81dM

por **valeuleo** » Qui Mar 31, 2011 11:18

LuizAquino escreveu:Fazendo a substituição $u^{12}=x$ , temos que:

$\lim_{x\to1} \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[3]{x} + \sqrt[]{x} - 3} {x - 1} \Rightarrow \lim_{u \to 1} \frac{u^6 + u^4 + u^3 - 3} {u - 1}$

Provavelmente, a sua dificuldade está em realizar a divisão entre os polinômios. Recomendo que estude o assunto [1, 2].

Nesse caso, a divisão entre esses polinômios resulta em quociente e resto 0. Ou seja, temos que:

Referência
[1] Divisão de polinômios - Brasil Escola - http://www.brasilescola.com/matematica/ ... nomios.htm
[2] Briot Ruffini - http://www.youtube.com/watch?v=yv5ju6Q81dM

Na verdade não é pra desenvolver a divisão, mas sim obter o valor. A resposta é $\frac{13}{12}$ , mas ainda não consegui resolver.

por **LuizAquino** » Qui Mar 31, 2011 11:41

valeuleo escreveu:Na verdade não é pra desenvolver a divisão, mas sim obter o valor.

Você precisa saber aplicar a divisão para conseguir eliminar a indeterminação.

$\lim_{u \to 1} \frac{u^6 + u^4 + u^3 - 3} {u^{12} - 1} =$ $\lim_{u \to 1} \frac{(u-1)(u^5+u^4+2u^3+3u^2+3u+3)} {(u-1)(u^{11} + u^{10} + u^9 + u^8 + u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1 )}$

$= \lim_{u \to 1} \frac{u^5+u^4+2u^3+3u^2+3u+3} {u^{11} + u^{10} + u^9 + u^8 + u^7 + u^6 + u^5 + u^4 + u^3 + u^2 + u + 1}$

$= \frac{13}{12}$