Integral definida de uma função contínua

por **Janoca** » Qua Jun 18, 2014 15:27

Sabe-se que a integral definida de uma função contínua, no intervalo [a, b] é nula. Pode-se concluir que:
a) A função é nula em [a, b];
b) A função tem um ponto crítico em [a, b];
c) A função não é crescente em [a, b];
d) Existe pelo menos um ponto c $\in$ [a, b] tal que, a função se anula em c;
e) Nada se pode afirmar.

Gostaria de entender o porque de cada questão falsa, como o porque da resposta correta.

Obrigada

por **e8group** » Qua Jun 18, 2014 16:40

a) Falso :

Seja

qualquer função contínua em [a,b]

( e portanto integrável sobre este intervalo) .
Suponha $\int_{a}^{b} f(x) dx = L$ .Defina g (x) = (b-a)f(x) - L

. Note que g também é continua em [a,b] e $\int_{a}^{b} g(x) dx = (b-a) \int_{a}^{b} f(x)dx dx + \int_{a}^{b} L dx = (b-a)L - (b-a)L = 0$ mas nem sempre

.

Exemplificando :

Dado f(x) = x

; $g(x) = (b-a) x - \frac{(b-a)(a+b)}{2} = b-a (x - \frac{a+b}{2})$ desde que o intervalo não é degenerado , g(x) = 0 sse x = (a+b)/2

(b) Falso :

A função admite candidatos extremantes locais se para um subintervalo de [a,b]

ela não é estritamente monótona em tal subintervalo . Por que seja fosse estritamente monótona ; das duas uma f'(x) < 0

ou

levando em conta que ela é diferenciável no aberto contido em [a,b] .

Exemplo : Se $f(x) = x^{3} + x$ , g(x) = (b-a) (x^3 +x) - L

para todo x em [a,b] ; logo não admite pontos críticos .

(c) Por (b) g é crescente . ; logo afirmação falsa .

(d) Verdadeiro .

Suponha que não exista c em [a,b] tal que f(c) = 0 .Então , f(x) > 0

para todo x em [a,b] ou f(x) < 0

x em [a,b] . (Pois , se tivéssemos f(x_0) f(x_1) < 0

com $x_0 \neq x_1$ ;como f é continua em pelo TVI teríamos um c entre x_1 e x_0 tq f(c) = 0 ) .

Se f(x) > 0

em [a,b] então $\int_a^b f(x) dx > \int_a^b 0 dx = 0$ (monotonicidade da intergral )

Se f(x) < 0

em [a,b] então $\int_a^b f(x) dx < \int_a^b 0 dx = 0$ (monotonicidade da intergral )

Portanto a suposição é falsa .

É isto ; desculpe , estou com pressa e digitei na correria , bem provável alguns erros de digitação .