Integral definida de uma função contínua

[Janoca]

Sabe-se que a integral definida de uma função contínua, no intervalo [a, b] é nula. Pode-se concluir que:
a) A função é nula em [a, b];
b) A função tem um ponto crítico em [a, b];
c) A função não é crescente em [a, b];
d) Existe pelo menos um ponto c [a, b] tal que, a função se anula em c;
e) Nada se pode afirmar.


Gostaria de entender o porque de cada questão falsa, como o porque da resposta correta.

Obrigada

[e8group]

a) Falso :

Seja qualquer função contínua em ( e portanto integrável sobre este intervalo) .
Suponha .Defina . Note que g também é continua em [a,b] e mas nem sempre .

Exemplificando :

Dado ; desde que o intervalo não é degenerado , g(x) = 0 sse


(b) Falso :

A função admite candidatos extremantes locais se para um subintervalo de ela não é estritamente monótona em tal subintervalo . Por que seja fosse estritamente monótona ; das duas uma ou levando em conta que ela é diferenciável no aberto contido em [a,b] .

Exemplo : Se ,

para todo x em [a,b] ; logo não admite pontos críticos .

(c) Por (b) g é crescente . ; logo afirmação falsa .

(d) Verdadeiro .

Suponha que não exista c em [a,b] tal que f(c) = 0 .Então , para todo x em [a,b] ou x em [a,b] . (Pois , se tivéssemos com ;como f é continua em pelo TVI teríamos um c entre x_1 e x_0 tq f(c) = 0 ) .

Se em [a,b] então (monotonicidade da intergral )

Se em [a,b] então (monotonicidade da intergral )

Portanto a suposição é falsa .

É isto ; desculpe , estou com pressa e digitei na correria , bem provável alguns erros de digitação .

[e8group]

Só uma observação :

NO item (b) quando eu me refiro subintervalo lê-se subintervalo aberto de [a,b] .