Derivada (regra da cadeia) contendo geometria

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Derivada (regra da cadeia) contendo geometria

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Derivada (regra da cadeia) contendo geometria

Mensagempor Carolminera » Sáb Jul 05, 2014 22:15

Booa noite galera, eu to com uma dúvida no seguinte exercício:
Código: Selecionar todos
f(x) = 4*cos3x - 3*sen4x
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Re: Derivada (regra da cadeia) contendo geometria

Mensagempor e8group » Dom Jul 06, 2014 13:41

Derivação via regra composta :

Sabendo-se que [sin(x)]' = cos(x) e [cos(x)]' = -sin(x) . Nós teremos

[sin(4x)]' = sin'(4x) \cdot (4x)' = cos(4x) \cdot 4 e

analogamente

[cos(3x)]' = cos'(3x) \cdot (3x)' = -sin(3x) \cdot 3 .

E ,

f'(x) = 4 \cdot [cos(3x)]' -3 [sin(4x)]' ....
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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