Relação entre Grandezas

[Jhenrique]

A interpretação para a razão entre duas grandezas é a de "taxa de variação", que, para mim, é uma interpretação muito abrangente e excelente! Mas o que eu não entendo é o produto entre duas grandezas que geralmente é explicado como a área da , tal explicação faz sentido para mim quando as grandezas e são comprimentos, mas nem sempre são comprimentos, podem ser qualquer outra grandeza, daí a interpretação da área, para mim, não é mais intuitiva. Portanto, como eu poderia interpretar conceitualmente o produto entre duas grandezas? Qualquer dica tá valendo!

Obg!

[LuizAquino]

A interpretação para a razão entre duas grandezas é a de "taxa de variação", que, para mim, é uma interpretação muito abrangente e excelente! Mas o que eu não entendo é o produto entre duas grandezas que geralmente é explicado como a área da , tal explicação faz sentido para mim quando as grandezas e são comprimentos, mas nem sempre são comprimentos, podem ser qualquer outra grandeza, daí a interpretação da área, para mim, não é mais intuitiva. Portanto, como eu poderia interpretar conceitualmente o produto entre duas grandezas? Qualquer dica tá valendo!

Considere os dois problemas abaixo.

Problema 1) Duas pessoas possuem cada uma 5 balas. Quantas balas elas possuem juntas?

Problema 2) Um retângulo possui lados medindo 2 cm e 5 cm. Qual é a área desse retângulo?

É fácil obter que a reposta desses problemas são, respectivamente, 10 balas e 10 cm².

Obviamente a grandeza "bala" é diferente da grandeza "cm²". Entretanto, em ambos os problemas a reposta é algo como: 10 unidades de "grandeza", onde a palavra "grandeza" pode ser substituída por "bala" ou por "cm²" conforme o caso. Nesse sentido, podemos afirmar que: encontrar a quantidade da grandeza no problema 1 é equivalente a encontrar a quantidade da grandeza no problema 2.

Podemos transpor essa ideia para o caso da integral que você citou. Suponha que a grandeza A é definida como o produto entre as grandezas B e C, isto é, por definição temos A = BC. Suponha ainda que certa função f contínua (e positiva) associa a grandeza B com a grandeza C. Desse modo, achar a quantidade da grandeza A quando a grandeza B varia no intervalo e a grandeza C varia conforme f no intervalo (ou , caso ), é equivalente a achar a quantidade da grandeza área que está abaixo do gráfico de f e acima do eixo x no intervalo dado para B. Essa quantidade de área é representada pela integral .

[Jhenrique]

O que mais me dá um nó na cabeça é que as vezes, no meu curso de técnico em mecânica, preciso calcular o momento estático e o momento de inércia de uma secção e estas grandezas são dimensionadas como e , respectivamente. E isso não faz sentido para mim, como pode uma grandeza do tipo comprimento ser quadridimensional? Ou outra que não tem nada a ver com volume ser tridimensional? Outra vezes preciso extrair a raiz sexta para determinar o diâmetro de um eixo...

Penso que deveria existir alguma teoria conceitual para explicar isso, algo como distinguir o coeficiente, junto com o seu próprio expoente, da parte literal, assim, a parte adjetiva não se misturaria com a parte substantiva. Sei lá... enfim... é devido a essa confusão que vim a procura de alguma luz.

[LuizAquino]

O que mais me dá um nó na cabeça é que as vezes, no meu curso de técnico em mecânica, preciso calcular o momento estático e o momento de inércia de uma secção e estas grandezas são dimensionadas como e , respectivamente. E isso não faz sentido para mim, como pode uma grandeza do tipo comprimento ser quadridimensional? Ou outra que não tem nada a ver com volume ser tridimensional? Outra vezes preciso extrair a raiz sexta para determinar o diâmetro de um eixo...

Penso que deveria existir alguma teoria conceitual para explicar isso, algo como distinguir o coeficiente, junto com o seu próprio expoente, da parte literal, assim, a parte adjetiva não se misturaria com a parte substantiva. Sei lá... enfim... é devido a essa confusão que vim a procura de alguma luz.

O seu problema é comum para todos os seres humanos: não somos capazes de enxergar quatro dimensões. O nosso sistema ocular apenas consegue enxergar 3 dimensões. É devido a essa limitação biológica que isso lhe "dá um nó na cabeça". Entretanto, apesar dessa limitação visual, não há problema teórico algum em trabalhar com 4 (ou até n) dimensões.

Além disso, geralmente nos cursos técnicos apenas são fornecidas fórmulas prontas (ou tabelas). Mas essas fórmulas (ou tabelas) prontas não "caíram do céu". Tipicamente a obtenção delas é estudada nos cursos de Engenharia, nas disciplinas de Física ou de Cálculo. Procure por esses conteúdos nessas disciplinas. Ao estudar a maneira como os cálculos são obtidos você entenderá melhor a dimensão dessas grandezas.