Ajuda Matemática • Exibir tópico - [Integrais] Dúvida exercício

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[Integrais] Dúvida exercício

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[Integrais] Dúvida exercício

por MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 16:18

Estou com dúvida no seguinte exercício:

$\int x^2\sqrt{1+x}$

$= \int x^2(1+x)^\frac{1}{2}$

É possível fazer pelo método de substituição?

Tentei da seguinte forma:

u=1+x

u=1+x

$\frac{du}{dx}=1$

Mas não tem como fazer o x^2

x^2

virar

porque eu teria que colocar valores de x dentro da integral...
Como resolvê-lo?

MrJuniorFerr: Colaborador Voluntário; Mensagens: 119; Registrado em: Qui Set 20, 2012 16:51; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia de Alimentos; Andamento: cursando

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 17:03

Não está errado. Note que se u = 1+x

u = 1+x

, então

x = u-1

, portanto x^2 = (u-1)^2

x^2 = (u-1)^2

. Daí você terá

$\int x^2 \sqrt{1+x} \, dx = \int (u-1)^2 \cdot u^{\frac{1}{2}} \, du$ .

Esta é simples de resolver.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 17:23

$\int (u-1)^2 du = \frac{(u-1)^3}{3} + C$ ?

MrJuniorFerr: Colaborador Voluntário; Mensagens: 119; Registrado em: Qui Set 20, 2012 16:51; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia de Alimentos; Andamento: cursando

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 17:26

Não, você esqueceu de multiplicar por $u^{\frac{1}{2}}$ . Expanda (u-1)^2

(u-1)^2

, multiplique e aí sim terá a integral de um polinômio.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 17:47

Ah sim, prossegui da seguinte forma:

$\int (u^2-2u+1).u^\frac{1}{2}$

$\int u^\frac{5}{2}-2u^\frac{3}{2}+u^\frac{1}{2}$

$\frac{2}{7}u^\frac{7}{2}-\frac{4}{5}u^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}u^\frac{3}{2}+C$

$\frac{2}{7}(1+x)^\frac{7}{2}-\frac{4}{5}(1+x)^\frac{5}{2}+\frac{2}{3}(1+x)^\frac{2}{3}+C$

Se eu não errei nenhuma continha, é isso né?

MrJuniorFerr: Colaborador Voluntário; Mensagens: 119; Registrado em: Qui Set 20, 2012 16:51; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia de Alimentos; Andamento: cursando

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 17:54

Sim, está correto.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

MarceloFantini: Colaborador Moderador; Mensagens: 3126; Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Andamento: formado

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 18:17

Por que será que de acordo com o Wolframalpha, possíveis resultados seriam esta imagem em anexo e...

Anexos

: Resultado simplificado; WolframAlpha--intx2sqrt1x--2012-10-28_1454.jpg (5.75 KiB) Exibido 3975 vezes

MrJuniorFerr: Colaborador Voluntário; Mensagens: 119; Registrado em: Qui Set 20, 2012 16:51; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia de Alimentos; Andamento: cursando

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MrJuniorFerr » Dom Out 28, 2012 18:18

e essa outra imagem em anexo.

Não estão muito diferentes do meu resultado?

Anexos

: Outros possíveis resultados; WolframAlpha--intx2sqrt1x--2012-10-28_1514_2.jpg (4.7 KiB) Exibido 3973 vezes

MrJuniorFerr: Colaborador Voluntário; Mensagens: 119; Registrado em: Qui Set 20, 2012 16:51; Formação Escolar: GRADUAÇÃO; Área/Curso: Engenharia de Alimentos; Andamento: cursando

Re: [Integrais] Dúvida exercício

por MarceloFantini » Dom Out 28, 2012 18:38

Vá no Wolfram, digite Expand[d]

, onde

é a expressão que encontrou. Verá que são iguais, ao expandir o resultado do Wolfram também.

Futuro MATEMÁTICO
$e^{\pi \cdot i} +1 = 0$

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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de $\frac{4\pi{r}^{2}}{3}$
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é $1,066\pi$

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

$V = \frac{4\pi}{3}r^2$

Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

$\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}$

Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

$\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}$

$\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}$

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