[Limite] Conceito de Limite

por **Raphaela_sf** » Qui Abr 05, 2012 19:11

Boa tarde,

Tenho dúvidas sobre a forma numérica (intuitiva) de encontrar um limite e a forma lim f(x) para x --> a = f(a).
Sendo o valor numérico, impreciso, ocasionando erros, faz-se necessário o uso de 'ferramentas algébricas'.
Para o exemplo, f(x) = (x² + 4x) para x-->2. Sei que o limite é igual a 12 apenas pelo cálculo de f(2). Se há uma indeterminação só posso realizar este processo quando simplificada a equação. Existe alguma outra situação que me impeça de utilizar esse meio, ou mesmo a forma intuitiva com os limites laterais?

Muito Obrigada!

por **LuizAquino** » Qui Abr 05, 2012 20:56

Raphaela_sf escreveu:Tenho dúvidas sobre a forma numérica (intuitiva) de encontrar um limite e a forma lim f(x) para x --> a = f(a).
Sendo o valor numérico, impreciso, ocasionando erros, faz-se necessário o uso de 'ferramentas algébricas'.
Para o exemplo, f(x) = (x² + 4x) para x-->2. Sei que o limite é igual a 12 apenas pelo cálculo de f(2). Se há uma indeterminação só posso realizar este processo quando simplificada a equação. Existe alguma outra situação que me impeça de utilizar esse meio, ou mesmo a forma intuitiva com os limites laterais?

Não existe. Sempre podemos aplicar uma das estratégias: numérica; algébrica. Lembrando que a estratégia algébrica é preferível, pois a numérica é imprecisa.

Além disso, vale lembrar que você não "simplifica a equação". Não há uma equação. O que há é uma função, que você tenta simplificar a sua expressão toda vez que no limite aparece uma indeterminação.

Por exemplo, considere a função $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ . Ao tentar calcular $\lim_{x\to 1} f(x)$ , temos uma indeterminação do tipo 0/0.

Podemos então efetuar a seguinte simplificação:

$\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x - 1} = \lim_{x\to 1} x + 1$

Note que agora no limite há uma outra função, que seria por exemplo g(x) = x + 1. Não aparece mais a função f(x) original. Entretanto, por esse desenvolvimento podemos dizer que:

$\lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1} g(x)$

Mas como a função g é contínua (você ainda deve estudar o conceito de continuidade), podemos dizer que $\lim_{x\to 1} g(x) = g(1)$ .

Conclusão:

$\lim_{x\to 1} f(x) = g(1) = 1 + 1 = 2$

por **Raphaela_sf** » Sex Abr 06, 2012 13:29

Desculpe, mas a noção de continuidade me parece vaga.
Como saber se uma função é contínua?
Sei que quando $\lim_{x\rightarrow a}$ f(x) = f(a), essa função é contínua em a.
Porque, como você disse g(x) é contínua e por isso se pode aplicar a definição algébrica de limite.
Isto é, g(x) = x+1, você verificou a função, a classificou como contínua e aplicou a definição.
Ou estou entendendo errado?

Muito Obrigada mesmo!

por **LuizAquino** » Sex Abr 06, 2012 19:17

Raphaela_sf escreveu:Desculpe, mas a noção de continuidade me parece vaga.
Como saber se uma função é contínua?
Sei que quando $\lim_{x\rightarrow a}$ f(x) = f(a), essa função é contínua em a.

Eu recomendo que você assista a videoaula "04. Cálculo I - Limites e Continuidade". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Se após assistir essa videoaula a dúvida continuar, então poste aqui novamente.

Raphaela_sf escreveu:Porque, como você disse g(x) é contínua e por isso se pode aplicar a definição algébrica de limite.

O que você está chamando de "definição algébrica" de limite? Por acaso seria: $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ ? Isso não é a "definição algébrica" de limite. Na verdade, como você mesmo já disse acima, isso aparece na definição de continuidade de f no ponto x = a.

Raphaela_sf escreveu:Isto é, g(x) = x+1, você verificou a função, a classificou como contínua e aplicou a definição.
Ou estou entendendo errado?

Está correto. Ao verificar que g(x) é contínua, podemos aplicar a definição de continuidade e escrever por exemplo que: $\lim_{x\to 1} g(x) = g(1)$ .

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