Duvida num limite pela definição

por **TheoFerraz** » Qua Abr 13, 2011 19:52

Olá!
Gente, eu entrei na 4ª lista da Universidade entao perdi muita materia, agora to com dificuldade... To começando a pegar o jeito, mas esse problema eu não consigo!
O problema é o seguinte

Prove pela definição formal de limites o seguinte limite:

$\lim_{x\rightarrow1}\left(x + \frac{1}{{x}^{2}} \right) = 2$

Bom... eu consegui pensar em diversas coisas mas nenhuma delas ajuda, e nenhuma delas é certeza de que são pensamentos corretos.

Eu pensei na propriedade de que se f(x) e g(x) são contínuas, eu sei que f(x)+g(x) é uma função continua. entao posso separar em dois limites que eu tenho que provar.

Teria que provar que $\lim_{x\rightarrow1}x = 1$ e Depois teria que provar que $\lim_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{{x}^{2}} \right) = 1$

Certo. O primeiro é facil. não precisa de nada. Agora o segundo é Complicado. não consigo fazer nada... =/
Se eu tento criar um $\epsilon$ pra tentar exibir um $\delta$ eu simplesmente não consigo.

Obrigado pela atenção

por **LuizAquino** » Qui Abr 14, 2011 00:49

TheoFerraz escreveu:Prove pela definição formal de limites o seguinte limite:

$\lim_{x\rightarrow1}\left(x + \frac{1}{{x}^{2}} \right) = 2$

Aplicando a definição formal de limites, temos que provar que:

Para todo $\varepsilon > 0$ existe um $\delta > 0$ tal que $\left|x+\frac{1}{x^2} - 2\right| < \varepsilon$ sempre que $|x-1| < \delta$ .

Comece observando que
$x+\frac{1}{x^2}-2 = \frac{x^3-2x^2+1}{x^2} = \frac{(x-1)(x^2-x-1)}{x^2}$

Desse modo, temos que
$|x-1|\left|\frac{x^2-x-1}{x^2}\right| < \varepsilon$

Precisamos delimitar o termo $\left|\frac{x^2-x-1}{x^2}\right|$ , ou seja, determinar uma constante c tal que $\left|\frac{x^2-x-1}{x^2}\right|< c$ .

Como x está próximo de 1, é razoável, por exemplo, delimitarmos que |x-1| < 1/2. Disso, nós obtemos que -1/2 < x-1 < 1/2, ou ainda, 1/2 < x < 3/2. Note que nesse caso nós estipulamos que $\delta_1 = \frac{1}{2}$ .

Analisando o gráfico das funções f(x)=|x^2-x-1|

e

para 1/2 < x < 3/2, temos que $\left|\frac{x^2-x-1}{x^2}\right| < 5$

Desse modo, temos que $|x-1| < \frac{\varepsilon}{5}$ . Nesse caso, bastava tomar $\delta_2 = \frac{\varepsilon}{5}$ .

Por fim, para garantir que $\left|x+\frac{1}{x^2} - 2\right| < \varepsilon$ , devemos tomar $\delta$ como sendo o menor entre os valores $\{\delta_1,\, \delta_2\}$ . Isto é, devemos tomar $\delta=\min \{\delta_1,\, \delta_2\}$ .

Sugestões
Acredito que os seguintes tópicos possam lhe interessar:

Demonstração de limites
viewtopic.php?f=120&t=4149

Curso de Cálculo I no YouTube
viewtopic.php?f=137&t=4280

por **TheoFerraz** » Seg Abr 18, 2011 17:39

Luiz, voce pode me informar em qual dos seus videos tem alguma demonstração dessa tecnica com o $\delta min$ ?
Sua resposta ja ajudou muito! Mas o conceito ainda é muito abstrato.
De qualquer forma.
Muitissimo obrigado pela resposta, ajudou um bocado!

por **LuizAquino** » Seg Abr 18, 2011 19:32

Olá TheoFerraz,

Em nenhum dos vídeos tem um exercício como esse.

Na maioria dos livros de Cálculo você pode encontrar exercícios assim. Por exemplo, procure no livro de Cálculo de James Stewart, na seção que fala sobre a definição precisa do conceito de limite.

por **Kabection** » Qui Mar 29, 2012 21:45

Luiz Aquino, não entendi como vc chegou nessa parte

Analisando o gráfico das funções f(x)=|x^2-x-1| e g(x) = |x^2| para 1/2 < x < 3/2, temos que $\left|\frac{x^2-x-1}{x^2}\right|$ < 5
Poderia me explicar sobre esse < 5 pelo gráfico das funções, Agradeço a colaboração.

por **LuizAquino** » Sex Mar 30, 2012 00:52

Kabection escreveu:Luiz Aquino, não entendi como vc chegou nessa parte

Analisando o gráfico das funções f(x)=|x^2-x-1| e g(x) = |x^2| para 1/2 < x < 3/2, temos que $\left|\frac{x^2-x-1}{x^2}\right|$ < 5
Poderia me explicar sobre esse < 5 pelo gráfico das funções, Agradeço a colaboração.

Analise os gráficos abaixo.

: figura.png (9.62 KiB) Exibido 3682 vezes

Note que para 1/2 < x < 3/2, temos que:

$\dfrac{1}{4} < \left|x^2 - x - 1\right| < \dfrac{5}{4}$

$\dfrac{1}{4} < \left|x^2\right| < \dfrac{9}{4}$

Agora, lembre-se da seguinte propriedade das inequações.

Se 0 < a < b e 0 < c < d, então $\frac{a}{d} < \frac{b}{c}$ .

Desse modo, se $\left|x^2 - x - 1\right| < \frac{5}{4}$ e $\frac{1}{4} < \left|x^2\right|$ , então temos que:

$\dfrac{\left|x^2 - x - 1\right|}{\left|x^2\right|} < \dfrac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}}$

$\left|\dfrac{x^2 - x - 1}{x^2}\right| < 5$