Ajuda com limite de função trigonométrica

por **sofa** » Qua Jun 29, 2011 04:42

Não estou conseguindo sair da indeterminação

$\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{cos\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}$

transformando aquele cosseno em um seno e invertendo ele eu cheguei ate
$\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{-sen\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} \right)}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}$
(fiquei na duvida se poderia inverter o seno)
se estivesse tendendo a zero eu diria que o resultado é -1 (e é realmente -1) mas como esta tendendo a pi eu fquei na duvida sobre o que fazer
resultado pelo wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... -pi%2F2%29
mas preciso saber sem ser por l'Hôpital.

por **MarceloFantini** » Qua Jun 29, 2011 04:59

Como vocÊ transformou o cosseno em seno?

por **sofa** » Qua Jun 29, 2011 05:07

Sim, transformei, ficou do jeito ali da segunda equação
o seno ali ta negativo mas eu acho que ta errado isso que eu fiz, o certo é
$\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{sen\left( \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}$
mas mesmo assim não consigo sair disso, n sei se estou indo pelo caminho certo

por **MarceloFantini** » Qua Jun 29, 2011 05:19

Agora entendi. O que você fez está certo: primeiro, usou que cosseno é apenas seno deslocado de $\frac{\pi}{2}$ , e portanto $\cos (\frac{x}{2}) = sen \, (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2})$ . Agora só faltou lembrar que $sen \, (-y) = - sen \, (y)$ , e portanto $sen \, (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = sen \, - (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}) = - sen \, (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2})$ . Com isso, você cai no limite fundamental do seno e termina a questão.

por **sofa** » Qua Jun 29, 2011 05:29

mas para cair no limite fundamental do seno x deveria estar tendendo a 0 e neste caso esta tendendo a pi

por **MarceloFantini** » Qua Jun 29, 2011 06:08

Essa é uma confusão que acontece constantemente. Não é a variável que tem que tender a zero. Note que se você fizer o limite com x tendendo a zero NÃO sairá o limite fundamental. O importante a saber é: o que tem que estar tendendo a zero é o denominador e o que estiver dentro do seno. Se tivessemos um limite assim:

$\lim \frac{sen \, \left( x^{\frac{5}{7}} - \frac{3}{4} \right)}{x^{\frac{5}{7}} - \frac{3}{4}}$

Para que isto seja um limite fundamental, não devemos ter $x \to 0$ mas sim $x \to \sqrt[5]{\left(\frac{3}{4}\right)^7}$ pois é ele quem zera quem está dentro do seno e quem está no denominador.

Espero que isso tenha esclarecido a sua dúvida e resolvido sobre porque está certo.