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Ajuda com limite de função trigonométrica

Ajuda com limite de função trigonométrica

Mensagempor sofa » Qua Jun 29, 2011 04:42

Não estou conseguindo sair da indeterminação

\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{cos\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}

transformando aquele cosseno em um seno e invertendo ele eu cheguei ate
\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{-sen\left( \frac{x}{2}-\frac{\pi}{2} \right)}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}
(fiquei na duvida se poderia inverter o seno)
se estivesse tendendo a zero eu diria que o resultado é -1 (e é realmente -1) mas como esta tendendo a pi eu fquei na duvida sobre o que fazer
resultado pelo wolfram http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... -pi%2F2%29
mas preciso saber sem ser por l'Hôpital.
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Re: Ajuda com limite de função trigonométrica

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jun 29, 2011 04:59

Como vocÊ transformou o cosseno em seno?
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Re: Ajuda com limite de função trigonométrica

Mensagempor sofa » Qua Jun 29, 2011 05:07

Sim, transformei, ficou do jeito ali da segunda equação
o seno ali ta negativo mas eu acho que ta errado isso que eu fiz, o certo é
\lim_{x\rightarrow \pi} \frac{sen\left( \frac{\pi}{2}-\frac{x}{2} \right)}{\frac{x}{2}-\frac{\pi}{2}}
mas mesmo assim não consigo sair disso, n sei se estou indo pelo caminho certo
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Re: Ajuda com limite de função trigonométrica

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jun 29, 2011 05:19

Agora entendi. O que você fez está certo: primeiro, usou que cosseno é apenas seno deslocado de \frac{\pi}{2}, e portanto \cos (\frac{x}{2}) = sen \, (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}). Agora só faltou lembrar que sen \, (-y) = - sen \, (y), e portanto sen \, (\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}) = sen \, - (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}) = - sen \, (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{2}). Com isso, você cai no limite fundamental do seno e termina a questão.
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Re: Ajuda com limite de função trigonométrica

Mensagempor sofa » Qua Jun 29, 2011 05:29

mas para cair no limite fundamental do seno x deveria estar tendendo a 0 e neste caso esta tendendo a pi
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Re: Ajuda com limite de função trigonométrica

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jun 29, 2011 06:08

Essa é uma confusão que acontece constantemente. Não é a variável que tem que tender a zero. Note que se você fizer o limite com x tendendo a zero NÃO sairá o limite fundamental. O importante a saber é: o que tem que estar tendendo a zero é o denominador e o que estiver dentro do seno. Se tivessemos um limite assim:

\lim \frac{sen \, \left( x^{\frac{5}{7}} - \frac{3}{4} \right)}{x^{\frac{5}{7}} - \frac{3}{4}}

Para que isto seja um limite fundamental, não devemos ter x \to 0 mas sim x \to \sqrt[5]{\left(\frac{3}{4}\right)^7} pois é ele quem zera quem está dentro do seno e quem está no denominador.

Espero que isso tenha esclarecido a sua dúvida e resolvido sobre porque está certo. :)
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Re: Ajuda com limite de função trigonométrica

Mensagempor sofa » Qua Jun 29, 2011 06:25

Entendi agora, estava no caminho certo então, só faltava esclarecer isso
Obrigado Marcelo
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}