Aplicações de integrais

por **Isla** » Qua Fev 23, 2011 12:12

Para calcular o volume de um solido cuja base é o disco ${x}^{2}+{y}^{2}$ $\leq4$ , tal que cada uma de suas seções transversias perpendiculares ao eixo 0x é um semicirculo.

Respondi assim:
volume desse sólido é dado por dV = A.dz, já que altura se expande no eixo Oz. A seção transversal do volume possui raio variável, tal que $0\leq p\leq 4$ , sendo p o raio.

Com a observação: "tal que cada uma de suas seções transversias perpendiculares ao eixo 0x é um semicirculo", tem se, um duplo cone (acima e abaixo da origem no eixo Oz), só que partido ao meio na linha do eixo Ox.

A área então do círculo partido será pi.p², (repetindo, p é o raio variável), então:

E agora me perdi...Socorro!

por **LuizAquino** » Qua Fev 23, 2011 17:34

Isla escreveu:Calcular o volume de um sólido cuja base é o disco ${x}^{2}+{y}^{2} \leq 4$ , tal que cada uma de suas seções transversais perpendiculares ao eixo Ox é um semicírculo.

A figura acima ilustra o exercício.

: volume-semi-esfera.png (14.38 KiB) Exibido 3240 vezes

Como as seções transversais perpendiculares ao eixo Ox são semicírculos e a base é um círculo, então o sólido é uma semiesfera de raio 2. Sendo assim, já esperamos que o volume seja $V = \frac{2\cdot 2^3}{3}\pi = \frac{16}{3}\pi$ . Vamos confirmar isso aplicando integrais.

Cada semicírculo tem raio y. Notando que o triângulo OAB é retângulo, determinamos que a área de cada semicírculo será dada por $A(x) = (4-x^2) \frac{\pi}{2}$ .

Sendo assim, o volume do sólido será dado por:

$V = 2 \int_0^2 A(x) \, dx = \frac{16}{3}\pi$

por **Elcioschin** » Qua Fev 23, 2011 20:31

Isla/Luis Aquino

É necessária uma pequena correção nos cálculos:

x² + y² =< 4 ------> R = 2 (e não R = 4) ----> y² = 4 - x²

dV = pi*y²dx -----> V = int[pi*(4 - x²)dx ----> Limite variando de x = 0 até x = 2

V = 4*pi*Int[dx] - pi*Int[x²dx]

V = 4*pi*x - pi*x³/3

Aplicando os limites ----> V = 4*pi*2 - pi*2³/3 ----> V = 8*pi - 8*pi/3 ----> V = 16*pi/3