Bolas Brancas e Amarelas (e Pretas!!!)

por **gustavowelp** » Sex Nov 19, 2010 09:02

Bom dia.

Não sei nem como começar esta questão...

A primeira probabilidade já me confundiu... Ainda tem a segunda!

Uma urna contém 2 bolas brancas e 3 bolas amarelas distinguíveis apenas pela cor. Aleatoriamente, duas bolas serão escolhidas, sucessivamente e sem reposição, e colocadas em uma segunda urna, na qual há apenas uma bola preta também distinta das demais apenas pela cor. Após a transferência das duas bolas para a segunda urna, escolher-se-á, aleatoriamente, uma única bola dessa urna. Qual a probabilidade de que, nesse último sorteio, a bola escolhida seja amarela?

A resposta correta é: 0,40

Agradeço desde já!!!

por **alexandre32100** » Sex Nov 19, 2010 12:46

Escolhemos duas bolas dentre as cinco: $\dbinom{5}{2}=10$ maneiras.
Daí formulamos as seguintes probabilidades:

Escolher duas bolas brancas: $\dfrac{1}{10}=0,1$
Escolher duas bolas amarelas*: $\dfrac{3}{10}=0,3$
Escolher uma bola de cada cor:

* esse número

é resultado da escolha de duas bolas dentre as três amarelas existentes na urna, $\dbinom{3}{2}=3$ .

Se escolhermos duas amarelas na 1ª urna, a chance de retirar uma amarela na 2ª urna é de $\dfrac{2}{3}$ , assim temos uma probabilidade de $\dfrac{\not3}{10}\times\dfrac{2}{\not3}=\dfrac{2}{10}=0,2$ .
Agora, se na primeira urna escolhermos uma bola de cada cor, a possibilidade é de apenas $\dfrac{1}{3}$ na segunda, ou ainda, $\dfrac{6}{10}\times\dfrac{1}{3}=0,2$ .
Por fim, chegamos ao resultado 0,2+0,2=0,4

.

por **gustavowelp** » Sex Nov 19, 2010 13:04

Não entendi o teu primeiro argumento $\left(\frac{5}{2} \right)$ ...
Seria combinação, certo?

Mas 1/10 quer dizer que somente há uma forma de retirar bolas brancas?

Obrigado!!!

por **alexandre32100** » Sex Nov 19, 2010 13:25

gustavowelp escreveu:Não entendi o teu primeiro argumento $\left(\frac{5}{2} \right)$ ...
Seria combinação, certo?

Exato!
Eu uso a notação $\dbinom{n}{k}$ , mas isto é o mesmo que C_n^k

ou $C_{n,k}$ .
Neste caso não fiz nada mais do que "escolher dois elementos dentre cinco", ou seja, combinação de cinco elementos tomados dois a dois.

gustavowelp escreveu:Mas 1/10 quer dizer que somente há uma forma de retirar bolas brancas?

Sim. Há duas bolas brancas na urna, ou seja, minha única forma de retirar duas bolas brancas é escolher estas únicas, ou ainda, $\dbinom{2}{2}=1$ , diferente do caso das bolas amarelas ( A_1

,

e

), onde eu posso formar três pares: $\{A_1,A_2\},\{A_1,A_3\},\{A_2,A_3\}$ .

por **gustavowelp** » Sex Nov 19, 2010 13:34

A dúvida que tenho é que as bolas brancas (ou amarelas) poderiam ser retiradas como Arranjo, ou seja, tirar a bola B1, B2 ou B2, B1. Da mesma forma para as amarelas.

por **alexandre32100** » Sex Nov 19, 2010 13:46

O que importa neste caso são quais bolas você vai por na segunda urna, "a ordem não importa", portanto temos uma combinação.

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