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Sistema linear por matrix

Sistema linear por matrix

Mensagempor benni » Ter Mai 17, 2011 15:41

Resolva o sistema de equações linear:
\begin{vmatrix}
   8 & -5 & 2\\ 
   3 & -1 & 1\\     
   1 &  2 & 1\\
\end{vmatrix} . \begin{pmatrix}
   x &   \\ 
   y &   \\
   z &   \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   0 &  \\ 
   0 &  \\
   0 &  \\ 
\end{pmatrix}

e discuta o significado geométrico do conjunto solução, se exixtir.
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor carlosalesouza » Ter Mai 17, 2011 17:50

Primeiramente, encontramos a Determinante.

Para isso, reproduzimos as 2 primeiras colunas à direita:

\begin{vmatrix}
8 & -5 & 2 & 8 & -5\\ 
3 & -1 & 1 & 3 & -1 \\ 
1 &  2 & 1 & 1 &  2 
\end{vmatrix}

E somamos o produto das diagonais para a direita e subtraímos o das diagonais para a esquerda:
\\
D = 8.(-1).1+(-5).1.1+2.3.2 - 2(-1).1 - 8.1.2 - (-5).3.1\\
D = -8 - 5 + 12 + 2 - 16 + 15 \\
D = 29 - 29\\
D = 0

A Determinante é 0...

Substituindo a primeira coluna da matriz pela coluna depois da igualdade, neste caso, 0, 0 e 0, teremos a Dx, substituindo a segunda, teremos Dy e a terceira nos dará Dz...

Com isso, sabemos que x = \frac{Dx}{D},y=\frac{Dy}{D},z=\frac{Dz}{D}

Entretanto, como sabemos que D = 0 e que 0 não é um divisor válido, logo, não existe conjunto solução...
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor MarceloFantini » Ter Mai 17, 2011 19:37

Pelo contrário, o conjunto solução é infinito. Veja que se fizermos x=y=z=0, já temos uma solução. Neste caso, o sistema é possível e indeterminado, pois existem inúmeras soluções.
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor carlosalesouza » Qua Mai 18, 2011 00:11

Isso mesmo... rs foi gafe minha... estava saindo quando comecei a responder ao topico e acabei fazendo um serviço mal feito... rs

Depois pensei a respeito e vi meu erro... dai fiquei pensando... tenho que voltar pra casa pra responder certo aquele tópico... rs

O principal erro é que, apesar de D ser 0, que não pode ser divisor, Dx = Dy = Dz = 0, ou seja, teríamos 0/0, que cai em uma indeterminação...

Um abraço
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor benni » Qua Mai 18, 2011 13:00

Obrigado pessoal pela ajuda, mas pensei assim
fiz a matriz aumentada adicionando a coluna do zero e por consequencia qualquer métodode resolução ira resultar em x = 0 , y = 0 e z = 0
como Det(A) = -12
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
agora a analise geometrica,não consegui vizualizar?
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor carlosalesouza » Qui Mai 19, 2011 09:19

Admitindo um sistema determinado, com as variáveis igual a zero, a solução se posiciona no ponto (0,0,0) que é a origem do plano cartesiano tridimensinal...
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor MarceloFantini » Qui Mai 19, 2011 18:38

Esta é uma das soluções, mas não explica as outras. Para isto, é necessário saber que ax+by+cz=d é a equação de um plano, logo, se a única solução é a trivial, isso quer dizer três planos que se interceptam apenas na origem. Outras possibilidades são: três planos que tem uma reta em comum ou na verdade são o mesmo plano.
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor arima » Qui Mai 19, 2011 21:29

Eu fiz por esclonamento e fiz em função da variavel z.Deu duas equações e tres incognitas.Chamei z de alfa e as soluçoes ficaram em função de z.Portanto sistema possivel indeterminado com infinitas soluçoes.agora ta dififcil representar no plano pois não sei como trabalhar com winplot.
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor arima » Qui Mai 19, 2011 21:34

Eu fiz por esclonamento e fiz em função da variavel z.Deu duas equações e tres incognitas.Chamei z de alfa e as soluçoes ficaram em função de z.Portanto sistema possivel indeterminado com infinitas soluçoes.agora ta dififcil representar no plano pois não sei como trabalhar com winplot.
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor lanca » Sáb Mai 21, 2011 18:26

Pessoal vc chegaram em algo assim:

y= -2z/7 e x= -1z/14
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor lanca » Sáb Mai 21, 2011 22:59

Oi benni!!!

Eu fiz por escalonamento e encontrei após refazer os cálculos que:

y= -2z/7 e x= -3z/7
lanca
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Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor arima » Dom Mai 22, 2011 17:33

Eu também fiz assim.
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Re: Sistema linear por matriz

Mensagempor LuizAquino » Dom Mai 22, 2011 18:19

A matriz ampliada do sistema é:
\begin{bmatrix} 8 & -5 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\end{bmatrix}

Façamos por escalonamento.

Primeiro, troque de posição a linha 1 com a linha 3.

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 \\ 8 & -5 & 2 & 0\end{bmatrix}

Façamos:
linha 2 recebe: (linha 2) - 3*(linha 1)
linha 3 recebe: (linha 3) - 8*(linha 1)

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & -21 & -6 & 0\end{bmatrix}

Façamos:
linha 3 recebe: (linha 3) - 3*(linha 2)

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Façamos:
linha 1 recebe: 2*(linha 1) + (linha 2)

\begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Logo, o sistema equivalente é:
\begin{cases}
2x - 3y = 0 \\
-7y - 2z = 0
\end{cases}

Geometricamente, isso é a interseção de dois planos que resulta na reta:
\begin{cases}
x  = -\frac{3}{7}t \\
y = -\frac{2}{7}t \\
z= t
\end{cases}
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.


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