• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Sistema linear por matrix

Sistema linear por matrix

Mensagempor benni » Ter Mai 17, 2011 15:41

Resolva o sistema de equações linear:
\begin{vmatrix}
   8 & -5 & 2\\ 
   3 & -1 & 1\\     
   1 &  2 & 1\\
\end{vmatrix} . \begin{pmatrix}
   x &   \\ 
   y &   \\
   z &   \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   0 &  \\ 
   0 &  \\
   0 &  \\ 
\end{pmatrix}

e discuta o significado geométrico do conjunto solução, se exixtir.
benni
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 39
Registrado em: Qua Mar 02, 2011 15:06
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: licenciatura em matematica
Andamento: formado

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor carlosalesouza » Ter Mai 17, 2011 17:50

Primeiramente, encontramos a Determinante.

Para isso, reproduzimos as 2 primeiras colunas à direita:

\begin{vmatrix}
8 & -5 & 2 & 8 & -5\\ 
3 & -1 & 1 & 3 & -1 \\ 
1 &  2 & 1 & 1 &  2 
\end{vmatrix}

E somamos o produto das diagonais para a direita e subtraímos o das diagonais para a esquerda:
\\
D = 8.(-1).1+(-5).1.1+2.3.2 - 2(-1).1 - 8.1.2 - (-5).3.1\\
D = -8 - 5 + 12 + 2 - 16 + 15 \\
D = 29 - 29\\
D = 0

A Determinante é 0...

Substituindo a primeira coluna da matriz pela coluna depois da igualdade, neste caso, 0, 0 e 0, teremos a Dx, substituindo a segunda, teremos Dy e a terceira nos dará Dz...

Com isso, sabemos que x = \frac{Dx}{D},y=\frac{Dy}{D},z=\frac{Dz}{D}

Entretanto, como sabemos que D = 0 e que 0 não é um divisor válido, logo, não existe conjunto solução...
Carlos Alexandre
Ciências Contábeis - FECEA/PR
Matemática - UEPG/PR
carlosalesouza
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 103
Registrado em: Sex Abr 29, 2011 17:28
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática -LIC
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor MarceloFantini » Ter Mai 17, 2011 19:37

Pelo contrário, o conjunto solução é infinito. Veja que se fizermos x=y=z=0, já temos uma solução. Neste caso, o sistema é possível e indeterminado, pois existem inúmeras soluções.
Futuro MATEMÁTICO
e^{\pi \cdot i} +1 = 0
MarceloFantini
Colaborador Moderador
Colaborador Moderador
 
Mensagens: 3126
Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Bacharelado em matemática pura
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor carlosalesouza » Qua Mai 18, 2011 00:11

Isso mesmo... rs foi gafe minha... estava saindo quando comecei a responder ao topico e acabei fazendo um serviço mal feito... rs

Depois pensei a respeito e vi meu erro... dai fiquei pensando... tenho que voltar pra casa pra responder certo aquele tópico... rs

O principal erro é que, apesar de D ser 0, que não pode ser divisor, Dx = Dy = Dz = 0, ou seja, teríamos 0/0, que cai em uma indeterminação...

Um abraço
Carlos Alexandre
Ciências Contábeis - FECEA/PR
Matemática - UEPG/PR
carlosalesouza
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 103
Registrado em: Sex Abr 29, 2011 17:28
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática -LIC
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor benni » Qua Mai 18, 2011 13:00

Obrigado pessoal pela ajuda, mas pensei assim
fiz a matriz aumentada adicionando a coluna do zero e por consequencia qualquer métodode resolução ira resultar em x = 0 , y = 0 e z = 0
como Det(A) = -12
Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.
agora a analise geometrica,não consegui vizualizar?
benni
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 39
Registrado em: Qua Mar 02, 2011 15:06
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: licenciatura em matematica
Andamento: formado

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor carlosalesouza » Qui Mai 19, 2011 09:19

Admitindo um sistema determinado, com as variáveis igual a zero, a solução se posiciona no ponto (0,0,0) que é a origem do plano cartesiano tridimensinal...
Anexos
Solucao = Origem.png
Solucao = Origem.png (2.88 KiB) Exibido 1691 vezes
Carlos Alexandre
Ciências Contábeis - FECEA/PR
Matemática - UEPG/PR
carlosalesouza
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 103
Registrado em: Sex Abr 29, 2011 17:28
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática -LIC
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor MarceloFantini » Qui Mai 19, 2011 18:38

Esta é uma das soluções, mas não explica as outras. Para isto, é necessário saber que ax+by+cz=d é a equação de um plano, logo, se a única solução é a trivial, isso quer dizer três planos que se interceptam apenas na origem. Outras possibilidades são: três planos que tem uma reta em comum ou na verdade são o mesmo plano.
Futuro MATEMÁTICO
e^{\pi \cdot i} +1 = 0
MarceloFantini
Colaborador Moderador
Colaborador Moderador
 
Mensagens: 3126
Registrado em: Seg Dez 14, 2009 11:41
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Bacharelado em matemática pura
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor arima » Qui Mai 19, 2011 21:29

Eu fiz por esclonamento e fiz em função da variavel z.Deu duas equações e tres incognitas.Chamei z de alfa e as soluçoes ficaram em função de z.Portanto sistema possivel indeterminado com infinitas soluçoes.agora ta dififcil representar no plano pois não sei como trabalhar com winplot.
arima
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 50
Registrado em: Sáb Out 23, 2010 18:25
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matematica
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor arima » Qui Mai 19, 2011 21:34

Eu fiz por esclonamento e fiz em função da variavel z.Deu duas equações e tres incognitas.Chamei z de alfa e as soluçoes ficaram em função de z.Portanto sistema possivel indeterminado com infinitas soluçoes.agora ta dififcil representar no plano pois não sei como trabalhar com winplot.
arima
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 50
Registrado em: Sáb Out 23, 2010 18:25
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matematica
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor lanca » Sáb Mai 21, 2011 18:26

Pessoal vc chegaram em algo assim:

y= -2z/7 e x= -1z/14
lanca
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 19
Registrado em: Dom Mai 15, 2011 00:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matematica
Andamento: formado

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor lanca » Sáb Mai 21, 2011 22:59

Oi benni!!!

Eu fiz por escalonamento e encontrei após refazer os cálculos que:

y= -2z/7 e x= -3z/7
lanca
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 19
Registrado em: Dom Mai 15, 2011 00:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matematica
Andamento: formado

Re: Sistema linear por matrix

Mensagempor arima » Dom Mai 22, 2011 17:33

Eu também fiz assim.
arima
Usuário Parceiro
Usuário Parceiro
 
Mensagens: 50
Registrado em: Sáb Out 23, 2010 18:25
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matematica
Andamento: cursando

Re: Sistema linear por matriz

Mensagempor LuizAquino » Dom Mai 22, 2011 18:19

A matriz ampliada do sistema é:
\begin{bmatrix} 8 & -5 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\end{bmatrix}

Façamos por escalonamento.

Primeiro, troque de posição a linha 1 com a linha 3.

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 & 0 \\ 8 & -5 & 2 & 0\end{bmatrix}

Façamos:
linha 2 recebe: (linha 2) - 3*(linha 1)
linha 3 recebe: (linha 3) - 8*(linha 1)

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & -21 & -6 & 0\end{bmatrix}

Façamos:
linha 3 recebe: (linha 3) - 3*(linha 2)

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Façamos:
linha 1 recebe: 2*(linha 1) + (linha 2)

\begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & -7 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

Logo, o sistema equivalente é:
\begin{cases}
2x - 3y = 0 \\
-7y - 2z = 0
\end{cases}

Geometricamente, isso é a interseção de dois planos que resulta na reta:
\begin{cases}
x  = -\frac{3}{7}t \\
y = -\frac{2}{7}t \\
z= t
\end{cases}
Imagem Imagem Imagem Imagem

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2648
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Matrizes e Determinantes

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 2 visitantes

 



Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?