[Trigonometria] Dúvida em relação a arcos duplos.

[Antonio Unwisser]

Boa tarde, pessoal.
Simplesmente não consigo resolver exercícios que propõem que se ache o resultado de uma determinada operação a partir do resultado de outra.
Por exemplo:

Sabendo que
cossec x/sec x + sec x/cossec x = 5, o valor de é:

Ou então:
Se tg x + cotg x = 3, calcule sen 2x.

Estou com todas as identidades (cossec x = 1/sen x; etc.) em mente, bem como as fórmulas derivadas da Relação Fundamental, e também mantendo em mente que
sen 2x = 2senx.cosx, e cos 2x = - , e as outras que se derivam a partir daí, bem como as da tangente.

Mas obviamente há alguma relação que não consigo enxergar. Qualquer ajuda será muito bem-vinda.
Obrigado pela atenção.

[e8group]

Não há uma regra geral p/ resolver estes tipos de equações , e destes casos expostos o objetivo não é resolver a eq. primeiro p/ x e depois computar sin 2x , etc ...A ideia é reescrever estas equações em termos de sin 2x ou de sin x + cos x .. Veremos como isto é possível ...

Vou propor uma equação , escolha algum número real k (a princípio sem restrições ) , fixado a escolha seja a eq.


. Se você fizer k = 5 e depois igual 3 você terá exatamente as duas equações que expôs (certifique-se que o primeiro membro da 1ª eq. é o mesmo que o escrever tan x + cot x .) .

Agora note que .



Daí ,

. Ou ainda ,

.Mas

sabemos da relação trigonométrica que e também que . Assim ,


o que implica

. Segue daí que podemos escolher qualquer k maior ou igual a 2 em módulo (pois seno é limitado por 1) .

Em particular , com k = 5 , tem a resposta desejada . Agora p/ computar note que

[Antonio Unwisser]

Muitíssimo obrigado, santhiago.
Antônio.