Comprimento do arco!! Urgente!!

por **manuoliveira** » Ter Out 23, 2012 20:34

Ache o comprimento do arco da curva definida por x = t³/3 e y = t²/2 do ponto A = (0, 0) ao ponto B = (1/3, 1/2)

Agradeço desde já quem puder ajudar!!!

por **manuoliveira** » Ter Out 23, 2012 20:44

Cheguei ao resultado 1/3 mas não tenho gabarito. Gostaria de saber se confere. Caso não, como resolver?

por **young_jedi** » Ter Out 23, 2012 20:53

para comprimentos de arcos voce deve utilizar a integral

$\int\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}.dt$

utilizando isto com as equações de x e y que voce tem

$\int_{0}^{1}\sqrt{(t^2)^2+t^2}dt$

$\int_{0}^{1}t\sqrt{t^2+1}dt$

por substituição

u=t^2+1

$\frac{1}{2}\int\sqrt{u}du=$

$\frac{1}{3}(t^2+1)^{\frac{3}{2}}\Big|_{0}^{1}=$

$\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{1}{3}$

por **Russman** » Ter Out 23, 2012 20:59

Suponhamos que o comprimento da curva entre os pontos

e

seja

. Vamos dividir esse arco em

pequenos intervalos $\Delta S$ de forma que $\Delta S^2 = \Delta x^2+\Delta y^2$ .
Quanto menores forem estes intervalos mais exato se torna essa aproximação de forma que

$\lim_{n\rightarrow \infty }\Delta S=ds \Rightarrow ds^2=dx^2+dy^2$ .

Como $S=\int_{A}^{B}ds$ basta tomarmos $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ e integrar.

Veja que a curva esta parametrizada, isto é, x=x(t)

e

de onde

$dx = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}dt = \left (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{t^3}{3} \right )dt = t^2dt$

$dy = \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}dt = \left (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{t^2}{2} \right )dt = t dt$

e portanto

$ds^2 = (t^2dt)^2 + (tdt)^2 = (t^4 + t^2)dt^2\Rightarrow ds = dt \sqrt{t^4+t^2}$ .

O ponto

é obtido tomando t=0